Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari
Download 119 Kb.
|
Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Mexanik kvadraturlar usuli
13 – ma’ruza Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari Ma`ruza rejasi Birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volter integral tenglamalari Fredgolm teoremasi Mexanik kvadraturalar usuli Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida yechish usuli Ketma-ket yaqinlashishlar usuli Kalit so`zlar: Fredgolm va Volter integral tenglamalari, integral xad kvadraturasi, “ko`paytma” yadro, ketma-ket yaqinlashish Quyidagi tenglama (1) Fredgolmning birinchi tur tenglamasi, (2) - tenglama esa Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb ataladi. Vol’terning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi , (3) , (4) bunda , – berilgan funksiyalar, – qidirilayotgan funksiya. Ayrim masalalarni yechishda differentsial tenglamalardan ko`ra integral tenglamalardan foydalanish qulaydir. Misol uchun Koshi masalasining qo`yilishini integral ko`rinishda ifodalash mumkin . Shunday qilib, integral tenglama to`liq qo`yilgan masaladan iborat, uning uchun qo`shimcha (boshlang`ich va chegaraviy) shartlar berilishi kerak emas. Endi ikkinchi tur tenglamalari uchun masalalarni qaraymiz. Birinchi tur uchun masalalar nokorrekt qo`yilgan. Agar (2) tenglamaning o`ng tomoni nolga teng bo`lsa, u holda quyidagi ko`rinishda ifodalash mumkin bo`lgan ikkinchi tur birjinsli Fredgolm tenglamasi hosil bo`ladi , . (5) bu tenglamaning nol (trivial) yechimi bo`ladi. Uning uchun xos qiymat masalasini qo`yish mumkin. Agar (5) tenglama noldan farqli yyechimga ega bo`lsa, parametrlar yadroning yoki (5) tenglamaning xos qiymatlari deyiladi, ularga mos yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi. Fredgolm teoremasi. Agar son yadroning xos qiymati bo`lmasa, u holda birjinslimas (2) tenglama da yagona uzluksiz yechimga ega bo`ladi, aks holda bu birjinslimas tenglama yoki yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Amaliyotda bo`lgan haqiqiy simmetrik yadroli Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalari muhim rol o`ynaydi. Simmetrik yadro uchun quyidagi xossalar o`rinli: Simmetrik yadro xech bo`lmaganda bitta xos qiymatga ega bo`ladi; Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiydir; Simmetrik yadroning xos funksiyalari ortogonal, ya`ni . (4) Vol’ter tenglamasi xos qiymatlarga ega emas. Unga mos bo`lgandagi birjinsli tenglama faqat trivial yechimga ega. Haqiqatdan, (4) birjinslimas tenglama hamisha ning ixtiyoriy qiymatida yechimga ega va u yagonadir. 1. Mexanik kvadraturlar usuli Biror-bir sonli integrallash formulasidan foydalanamiz , (6) bunda - umuman olganda dan bog`liq. Quyidagi tenglikga ega bo`lamiz , (7) bu erda - (6) kvadratur formulaning qoldiq hadi. (2) tenglamani qaraymiz. (7) munosabat yordamida uni quyidagicha ifodalash mumkin , (8) bu erda qoldiq xad, (6) kvadratur yordamida integralni hisoblashdagi o`zgaruvchining funksiyasidir. (8) tenglamada , deb olib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz . Qoldiq hadni tashlab yuborib chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (CHATS)ni hosil qilamiz , (9) . Bu sistemani yechish uchun ChATSni yechishning standart usullarini qo`llash mumkin. (9) tenglamalar sistemasini sistemaning matritsasi simmetrik bo`ladigan ko`rinishda almashtirish mumkin. Buning uchun (9) sistemaning -inchi tenglamasini ga ko`paytiramiz va quyidagi simmetrik matritsali tenglamalar sistemasini olamiz . (10) Bunda - simmetrik yadro. Sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning yana bir usuli quyidagicha. (9) da -inchi tenglamani ga ko`paytiramiz va deb olib, quyidagi tenglamalar sistemasi hosil qilinadi . (11) bo`lganda sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning ikkinchi usuli afzaldir. Download 119 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling