Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

2. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida integral tenglamalarni yechish
Integral tenglamalarni yechishning boshqa klassik usullari (2), (4) masalalardagi – integral operator yadrosini “ko`paytma” yadro bilan almashtirishdir.
“Ko`paytma” yadro ushbu ko`rinishda ifodalanadi
.
Endi
(12)
bo`lsin deylik.
Aniqlik maqsadida va lar chiziqli erksiz bo`lsin deb faraz qilaylik. Aks holda yadroni eng kichik qiymatli bilan (12) ko`rinishda yozish mumkin.
(12) holda kutishga asos bor, chunki (2) tenglamani echish
(13)
integral tenglamani yechishga yaqin.
ifodani (13) ga qo`yib quyidagi tenglikni olamiz
. (14)
Demak
, (15)
bunda
.
Shunday qilib (2) tenglamani yechish koeffitsientlarni aniqlashga olib kelinadi.
uchun (15) ifodani (14) ga qo`yib, quyidagi munosabatni olamiz
.
Bu tenglikni olishda ikki holatda indeks bilan belgilangan. Oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin
,
bunda
.
larning chiziqli erksizligidan kelib chiqadi. ga nisbatan tenglamalar sistemaisni olamiz
,
bu erda - skalyar ko`paytma. ni aniqlagandan so`ng quyidagi ko`rinishdagi masala yechimiga yaqinlashishni olamiz
.

3. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli

Fredgolm tenglamasini qaraymiz
. (16)
(16) tenglamani echishda chiziqlimas tenglama uchun oddiy iteratsiya usuliga o`xshash iteratsion jarayonni quramiz. - izlanayotgan funksiyaning boshlang`ich yaqinlashishi bo`lsin. U holda ni (16) ning o`ng tomoniga qo`yib

munosabatni olamiz.
Xuddi shunday topilgan qiymatni integral ostidagi ifodaga qo`yib topiladi va xokazo jarayon davom ettiriladi. Ixtiyoriy - inchi yaqinlashish uchun quyidagicha yozish mumkin
,
ning etarlicha kichik qiymatida va chekli yadroda bu iteratsion jarayon bo`yicha tekis yaqinlashadi va bu yaqinlashish chiziqli bo`ladi. Yaqinlashishning yetarlilik sharti quyidagicha
, (17)
.
Ketma-ket yaqinlashishlar usulining yana bir variantida darajali qatorlardan foydalanishadi. Bunda izlanayotgan funksiya daraja bo`yicha qator ko`rinishida yoyiladi
. (18)
Bu yoyilmani (16) tenglamaga qo`yib, bir xil darajalardagi ifodalar tenglashtirilib, quyidagi rekurrent munosabatlarni olamiz



Agar (17) shart bajarilsa, chegaralangan va larda (18) qator yaqinlashadi.