Integral va uning tadbiqlari

Integralning geometrik tavsifi: Integralning geometrik tavsifi va shakllarni hisoblash uchun formulalarni tushunish

Integralning geometrik tavsifi, matematikning asosiy fanlari dan biridir va tushunchalarni vizualizatsiya qilishga imkon beradi. Geometrik tavsif, integrallashdan olinayotgan yechimni biror geometrik ob'ektdagi yuzasiga ya'ni hajmini hisoblashga bog'liq.
Biror funksiya f(x) ni integrallashni ko'rib chiqamiz. Integrallashdan hosil bo'lgan yechimning geometrik tavsifi quyidagi shaklda ko'rsatiladi:
∫_a^b f(x) dx = S
Bu shaklda, f(x) - integrallangan funksiya, [a,b] - integrallash kesm, S - yechimni geometric shaklda ko'rsatuvchi ob'ekt.
Shaklning o'ng tomonida ko'rsatilgan "dx" - bu funksiyaning necha x qiymatlari orasidagi yuqori korlilikning (integralning) xususiyligi.
Bir nechta shakllar bilan integrallash yechimini hisoblash mumkin, masalan:

1. 
   Kesma shakli (Slice Method): Kesma shakli yordamida integrallashning geometrik tavsifi funksiyaning biror kesmalarining hajmi sifatida ko'rsatiladi.
   
2. 
   Disk shakli (Disk Method): Disk shakli yordamida integrallashning geometrik tavsifi funksiyaning aylantirishning yuzasini hisoblashga bog'liq.
   
3. 
   Washers shakli (Washers Method): Washers shakli yordamida integrallashning geometrik tavsifi funksiyaning ikkita aylantirishning yuzasini hisoblashga bog'liq.
   

Shakllarni hisoblashda quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

1. 
   Kesma shakli formulasi: S = ∫_a^b A(x) dx
   
2. 
   Disk shakli formulasi: V = ∫_a^b π[f(x)]^2 dx
   
3. 
   Washers shakli formulasi: V = ∫_a^b π[(f(x))^2 - (g(x))^2] dx
   

Bu formulalar bilan funksiyaning geometrik tavsifi yechimini hisoblash mumkin.

Quyidagi misollar integralning geometrik tavsifini ko'rsatadi va shakllarni hisoblash usullarini tushunishga yordam beradi:

1. 
   Kesma shakli misoli:
   

Tenglamani kesma shakli yordamida yeching: ∫_1^3 x^2 dx

2. 
   Disk shakli misoli:
   

Disk shakli yordamida quyidagi funksiyaning yuzasini hisoblang: ∫_0^2 π(3 - x^2) dx

3. 
   Washers shakli misoli:
   

Washers shakli yordamida quyidagi funksiyaning hajmini hisoblang: ∫_0^2 π(4x - x^2) dx

4. 
   Yagona integral misoli:
   

Quyidagi integralni hisoblang: ∫_0^2 x^2 dx

5. 
   Qo'shma integral misoli:
   

Quyidagi integrallarni hisoblang: ∫_0^1 x dx + ∫_1^3 2x dx
Bu misollar funksiya shakllarining turli turlarini hisoblash usullarini va formulalarni tushunishda yordam beradi.

II BOB. “INTEGRAL VA UNING TADBIQLARI” MAVZUSINI MUSTAHKAMLASH SAVOLLAR VA MISOLLAR YORDAMIDA.
2.1. Integralning tadbiqlari: Mavjud integrallar bilan bog'liq savollar, integrallarni ko'paytirish va integrallarni necha barobarlikda hisoblash savollari.