Integral va uning tadbiqlari

I BOB “INTEGRAL VA UNING TADBIQLARI” NI TUSHINISH VA O’RGANISH.

1. 
   Mavzuni tushunish: Integralning nima ekanligi, nima uchun kerakligi, uning umumiy qonuniyalariga oid asosiy qoidalar (integralning qoidalari) va ushbu mavzu bilan bog'liq asosiy terminologiyalarni tushunish kerak
   

1.1. Mavzuni tushunish: Integralning nima ekanligi, nima uchun kerakligi, uning umumiy qonuniyalariga oid asosiy qoidalar (integralning qoidalari) va ushbu mavzu bilan bog'liq asosiy terminologiyalarni tushunish kerak. bu haqida menga to'liq ma'lumot va misollar keltir.

Integral, matematikada funksiyalarning antiderivativasi hisoblanish usuli hisoblanadi. Integralning umumiy qonuniyalariga oid asosiy qoidalar quyidagilardir:

1. 
   Integralning hisoblanishi uchun belgilangan integrallash intervali bo'lishi kerak.
   
2. 
   Integral, o'zining integrallash intervali bo'yicha funksiyalarning qiymatlarini yig'indisini ifodalaydi.
   
3. 
   Integral hisoblashda yordamchi muhim bo'lgan qiymatlarni hisobga olish kerak.
   
4. 
   Integrallash funksiyalari soni orqali hisoblash mumkin.
   
5. 
   Integral hisoblash uchun integrallash intervali bo'yicha birinchi va ikkinchi darajali funksiyalar yoki integralning integrallash intervali bo'yicha qiymatlarini bilishimiz kerak.
   

Integral hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:

1. 
   Dastlabki turlari (oddi, juft, murakkab funksiyalar) integrali hisoblanadi.
   
2. 
   Integralning belgilangan chegaralarida qiymatini aniqlash uchun chegaralarni o'zgartiruvchi o'zgaruvchilarni qo'shish yoki ayrashish orqali integral chegaralari yaxlitlanadi.
   
3. 
   Tezlashtirilgan integral, integrallash intervali yuqori va past chegaralari ko'p bolgan funksiyalarda qulaylik yaratadi.
   

Integral bilan bog'liq asosiy terminologiyalar quyidagilardir:

1. 
   Integrallash intervali - integral hisoblanishi uchun belgilangan chegaralar bo'lgan interval.
   
2. 
   Antiderivativ - funksiyaning integrali.
   
3. 
   Definit integrallash - belgilangan integrallash intervali orqali integral hisoblash.
   
4. 
   Belgisiz integrallash - integrallash intervali ko'rsatilmagan integral.
   
5. 
   Tezlashtirilgan integral - integralni yuqori va past chegaralari ko'p bolgan funksiyalarda hisoblash usuli.
   

Misollar:

1. 
   Quyidagi funksiyani hisoblang: ∫(2x^2 + 3x + 1) dx
   

Javob: Funksiya antiderivativi hisobida quyidagi formula ishlatiladi: ∫(2x^2 + 3x + 1) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + x + C
Bu yerda C - integrlash konstantasi hisoblanadi.

2. 
   Quyidagi hisoblashni bajarang: ∫(1/x) dx
   

Javob: Bu yerda, funksiya x ning 0 dan farqli qiymatlari uchun integrallash intervali mavjud emas. Shuning uchun, belgisiz integrallash hisoblanadi: ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Bu yerda C - integrlash konstantasi hisoblanadi.
Integralning tushunchasi, bir funksiyaning belgilangan chegaralar orasidagi qiymatlarini hisoblash imkonini beradi. Boshqa so'zlar bilan, integral, funksiyaning boshlang'ich qiymatidan o'zaro bog'liq chegaralarning o'rtasida qanchalik maydonni ifodalovchi sonni topish imkoniyatini beradi.
Integralni hisoblashda kerak bo'lgan eng muhim narsa - integrlashning mazmuni - bu integrlashni o'rganishda foydalaniladigan usullar va formalizm. Bunda odatda, funksiyaning aniq chegaralarida qiymatlar topiladi va ularning umumiy jamlanmasi hisoblanadi.
Integralning umumiy qonuniyalariga asosiy qoidalar quyidagilardan iboratdir:

1. 
   Integralning chegaralariga yuqori va pastki chegaralarining qiymatlari kiradi.
   
2. 
   Integral o'zgaruvchilari o'zgarishi mumkin emas.
   
3. 
   Integralning integrali olinishi mumkin.
   
4. 
   Integralning chegaralarining tartibi o'zgartirilganda, integral qiymati o'zgaradi.
   

Integral hisoblashda ko'p termologiyalar ishlatiladi. Ba'zilari quyidagilardir:

1. 
   Integrallanuvchi - funksiyaning integrallanishiga ruhsat beruvchi amalga oshirish.
   
2. 
   Integrand - integralni hisoblash uchun berilgan funksiya.
   
3. 
   Chegaralar - integralni hisoblash uchun belgilangan bo'limlar.
   
4. 
   Integrallangan funksiya - integrallanayotgan funksiya.
   
5. 
   Qisqa ko'rinish - integralning qisqa yozilgan shakli.
   
6. 
   Chegaralning tepasi va pastki qismi - chegaralarning bosh va oxirgi qiymatlari.
   
7. 
   Tegishli integral - chegaralar orasidagi integrlash amaliyoti.
   
8. 
   Yorli integrallash - integralni boshqa integral bilan hisoblash.
   
9. 
   Chegara - integralni chegaralari orasidagi bo'lim.
   
10. 
    Integralning qiymati - chegaralarning umumiy jamlanmasi.
    

Misol uchun, quyidagi funksiya integrallanishini hisoblash ko'ramiz: f(x) = x^2 + 3x - 5
Bu funksiyaning integralini topish uchun, quyidagi formuladan foydalanamiz:
∫(x^2 + 3x - 5)dx
Ushbu integralning natijasi, quyidagi formulaga muvofiq bo'ladi:
(x^3/3) + (3x^2/2) - (5x) + C
Bu yerda C o'zgarmaydigan integralka ko'rsatkichdir. Bunda, f(x) funksiyasining chegaralari 0 va 2 o'rtasida hisoblangan.

1.2. Integralni hisoblashning usullari: Diferensial tenglamalaridan kelib chiqqan antiderivativani hisoblash, integrallar jadvallaridan foydalanish va integrallarni hisoblash uchun tayyor formulalardan foydalanishni tushunish
Integral, bir funksiyaning boshqa funksiya bilan integrallashtirilishidir. Integral, funksiyaning antiderivativasi sifatida ham bilinadi. Integralning usullari quyidagilardir:

1. 
   Diferensial tenglamalaridan kelib chiqqan antiderivativani hisoblash: Bu usulda, berilgan funksiya, undan bir nechta marta hosil bo'lingan funksiyalarning har qanday biri bilan integrallashtiriladi. Masalan, y = x^2 funksiyasini integrallashtirish uchun, undan hosil bo'lingan funksiyalar y = x^3/3, y = x^4/4, y = x^5/5 va h.k. bilan integrallashtiriladi.
   
2. 
   Integrallar jadvallaridan foydalanish: Bu usulda, integralni hisoblash uchun jadvaldan foydalaniladi. Jadval bilan, ko'rsatilgan integrallarni hisoblash mumkin. Jadval yordamida hisoblash, amaliy matematikada juda ko'p qo'llaniladi.
   
3. 
   Tayyor formulalardan foydalanish: Bu usulda, berilgan funksiyani integrallashtirish uchun tayyor formulalardan foydalaniladi. Tayyor formulalar, ko'p qo'llaniladigan funksiyalar uchun integrallarni hisoblashda yordam beradi.
   

Quyidagi misollar usullarni tushunishga yordam beradi:

1. 
   Misol: ∫(x^3 + 2x^2 - 5x)dx Javob: ∫x^3dx + ∫2x^2dx - ∫5xdx =x^4/4 + 2x^3/3 - 5x^2/2 + C (C - integraleva koeffitsienti)
   
2. 
   Misol: ∫sinxdx Javob: -cosx + C
   
3. 
   Misol: ∫(3x^2 + 6x + 5)dx Javob: x^3 + 3x^2 + 5x + C
   
4. 
   Misol: ∫e^xdx Javob: e^x + C
   
5. 
   Misol: ∫(1/x)dx Javob: ln|x| + C
   
6. 
   Misol: ∫(sec^2x)dx Javob: tanx + C
   

Jadval bilan integrallarni hisoblash uchun quyidagi misolni ko'rib chiqamiz:

7. 
   Misol: ∫x^ndx Javob: (x^(n+1))/(n+1) + C (n ≠ -1)
   
8. 
   Misol: ∫sinxdx Javob: -cosx + C
   
9. 
   Misol: ∫cosxdx Javob: sinx + C
   
10. 
    Misol: ∫e^xdx Javob: e^x + C
    

1. 
   Antiderivativani topish:
   

Antiderivativani topish, bir funksiyani boshqa funksiyaga aylanmasi orqali hisoblash usuli. Bu usul integrallashni integrallar jadvallaridan foydalanishdan farqli bo'lib, funksiya analitik turdagi yechimni topishni ta'minlaydi.
Agar bir funksiyaning yechimining antiderivativani aniqlanmagan bo'lsa, bu yechimni topish uchun Antiderivativani topish usulidan foydalanish mumkin. Ya'ni, funksiya yechimidan ko'p qancha marta integrallash o'tkaziladi, lekin antiderivativani topish usuli bir vaqtda yechimni topish imkonini beradi.
Masalan, funksiya f(x) = 3x^2 + 2xning antiderivativasi F(x) = x^3 + x^2 + C bo'ladi, bu yerda C sabiti istalgan qiymatda bo'ladi.

Integrallar jadvallaridan foydalanish:

Integral jadvallaridan foydalanish, bir qator integralni integrallar jadvallaridan topish usulidir. Bu usul integrallarni qisqa va oddiy tarzda hisoblash imkonini ta'minlaydi.
Integral jadvallari, integral operatoridan ozodligini yoki oddiy funksiyalar integralini ifodalaydi. Bu jadvallardan foydalanish imkonini beradi, lekin ular faqat bir nechta oddiy integralni hisoblashga imkon beradi.
Masalan, integral operatorining ildizlarini qo'llab-quvvatlashga asoslangan ko'plab formulalar mavjud, masalan:

• 
  ∫ sin x dx = -cos x + C
  
• 
  ∫ cos x dx = sin x + C
  
• 
  ∫ 1/x dx = ln|x| + C
  

3. 
   Tayyor formulalardan foydalanish:
   

Integral hisoblashning usullari, tayyor formulalardan ham foydalanishni o'z ichiga oladi. Tayyor formulalar, oddiy integrallarni hisoblashda ishlatiladigan formulalardir.
Masalan, yana bir nechta tayyor formulalar mavjud:

• 
  Integrallash uchun ko'paytirish formulasi: ∫ u dv = u ∫ dv - ∫ (du/dx) (∫ v dx) dx
  
• 
  Integrallash uchun integrallash formulasi: ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
  

Masalan, ∫ x^2 e^x dx yechimni topish uchun, integrallash uchun integrallash formulasi va integrallash uchun ko'paytirish

3. 
   Integralning xususiy turlari: Mavjud integrallarning o'ziga xos xususiyliklari, masalan, batafsil integrallar, chegaraviy integrallar, to'g'ri chiziq integrallari va bu turdagi integrallarni hisoblash usullari
   

1. 
   Batafsil integral
   

Batafsil integral, funksiya yechimining aniqlanmagan to'g'ri integralidir. Batafsil integral, integrallar jadvallaridan foydalanish yoki antiderivativani topish usuli bilan hisoblanmaydi.
Masalan, ∫ e^x^2 dx batafsil integraldir va uni hisoblashga mos holda tayyor formulalar va integrallar jadvallaridan foydalanish mumkin emas.

2. 
   Chegaraviy integral
   

Chegaraviy integral, chegaralangan bo'limda yechimni hisoblashga imkon beradi. Chegaraviy integrallar, ob'ektning chegaralangan bo'limida funksiyaning yechimini hisoblashga yordam berish uchun foydalaniladi.
Masalan, ∫x^2 dx ning 0 dan 1 gacha chegarasi 1/3 ga teng bo'ladi.

3. 
   To'g'ri chiziq integrallari
   

To'g'ri chiziq integrallari, ikki nuqtani o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq orqali hisoblanadi. To'g'ri chiziq integrallari, yagona integrallashdan farqli bo'lib, chegaraviy integrallarni hisoblash uchun foydalaniladi.
Masalan, ∫x dx ning 0 dan 2 gacha hisoblanishida, natija 2 ga teng bo'ladi.

4. 
   Kesma integrali
   

Kesma integrali, funksiyani qirqinchi darajasiga olib borilgan yechimni hisoblash uchun ishlatiladi. Bu usul, integrallash uchun formulalarni yoki integrallar jadvallarini foydalanishdan farqli bo'lib, chegaraviy integrallar uchun ideal usul hisoblanadi.
Masalan, ∫_0^1 1/(1 + x^2) dx yechimni topish uchun kesma integrali yordamida hisoblanishi kerak.

5. 
   Differensial tenglamalari yordamida integrallash
   

Differensial tenglamalari yordamida integrallash, integrallarni differensial tenglamalari orqali hisoblash usulidir. Ushbu usul, integral operatoridan ozodligini olishga yordam beradi.
Masalan, ∫ e^x dx ni differensial tenglamalari yordamida hisoblash uchun, funksiyani o'ziga oz qo'shish orqali hisoblash kerak. Natijada, ∫ e^x dx = e^x + C yechimi hosil bo'ladi.
Bu misollar integrallarning turli turlariga misollar ko'rsatadi va ularga mos hisoblash usullarini ta'riflash uchun foydalaniladi.

Quyidagi misollar, integral tur va hisoblash usullariga misollar ko'rsatadi:

1. 
   Batafsil integral misoli:
   

∫ x^3 + 2x^2 + x + 1 dx
Batafsil integral hisoblanishi kerak.

2. 
   Chegaraviy integral misoli:
   

∫_0^2 x^2 dx
Chegaraviy integralning yechimini hisoblash kerak.

3. 
   To'g'ri chiziq integrali misoli:
   

∫_0^2 x dx
To'g'ri chiziq integralining yechimini hisoblash kerak.

4. 
   Kesma integrali misoli:
   

∫_0^1 1/(1 + x^2) dx
Kesma integrali yordamida yechimni hisoblash kerak.

5. 
   Differensial tenglamalari yordamida integrallash misoli:
   

∫ (2x + 1) dx
Differensial tenglamalari yordamida integrallash usuli bilan yechimni hisoblash kerak.
Bu misollar integrallarning turli turlariga mos keladi va ularni hisoblash usullarini o'rganishda yordam beradi.

3.