International research journal

*, Besklubnaya A.V.
2
 
1
ORCID: 0000-0002-5688-7996; 
1, 2
Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia 
* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru) 
Abstract 
At present, there is no particular need to justify the importance of oscillatory processes in modern physics and natural science. 
The apparatus of the theory of differential equations is a recognized tool for studying oscillatory processes in various branches 
of physics and engineering. Naturally, oscillatory systems with low nonlinearity are the most accessible for research and in so 
far, the study of systems close to the harmonic oscillator (quasi-harmonic oscillator) presents particular interest. The article 
explores the possibility of reducing the problem of studying the synchronization of a quasi-harmonic oscillator to the study of 
the Poincare functions of a point map, which is constructed using the method of successive approximation. The article concludes 
that the results of the study of the system as a whole depend on the type of nonlinearity. 
Keywords: phase field of a nonlinear oscillating system, synchronization, quasi-harmonic oscillator, small parameter, 
asymptotic research methods, point mapping method. 
Изучение нелинейной колебательной системы означает прежде всего разбиение ее фазового пространства на 
траектории всех возможных типов, а в пространстве параметров – выделение областей существования движений того 
или иного типа. Получение ответов на поставленные вопросы возможно, если известны функции, определяющие 
состояния системы и изменения этих состояний [1, С. 35]. Однако эти функции, которые и приходится изучать, как 
правило, определены с помощью дифференциальных уравнений, описывающих данную систему, и другого 
определения не имеют. Поэтому необходимо из самих дифференциальных уравнений извлекать информацию 
относительно характера и вида функций, этими уравнениями определяемых [1, С. 35]. 
Наиболее общее средство описания и достаточно эффективный математический аппарат исследования нелинейных 
колебательных систем дает метод точечных отображений, поскольку позволяет единообразно подходить к 
исследованию систем различной физической природы [2]. Возможность использования теории точечных отображений 
для изучения решений дифференциальных уравнений основана на сводимости изучения фазовых траекторий 
динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, к рассмотрению точечных отображений, 
порождаемых этими фазовыми траекториями на секущих поверхностях [2, C. 184-187]. При этом практическое 
применение этого метода оказалось связанным с рядом трудностей, главная из которых – отыскание функций 
последования. Естественно, что построение точечных отображений не представляет затруднений, если известно общее 
решение рассматриваемых дифференциальных уравнений. В случае, когда получение такого общего решения 
невозможно, можно прибегнуть к тем или иным приближенным (в том числе и асимптотическим) методам 
[2, С. 205-210].
В настоящей работе исследуется возможность сведения задачи о синхронизации квазигармонического осциллятора 
к изучению вопроса о существовании неподвижных точек аналитически заданного точечного отображения, при 
построении которого используется метод последовательных приближений [3], [4], [5]. При этом делается вывод о 
влиянии характера нелинейности на результаты исследования поведения траекторий системы в целом методом 
приближенных точечных отображений. 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
23 
Рассмотрим уравнение движения синхронизуемого осциллятора вида
t/p)
,
x
f(x,
x
x






(1) 
в котором 
0
1



, а 
2 p

- период внешней силы, или, если ввести 
y
x

, систему двух уравнений первого 
порядка 
y
x


, 
)
t/p
y,
f(x,
x
y






(2) 
Величина параметра 

при заданной функции 
( , , / )
f x y t p
определяет степень близости рассматриваемой 
системы к линейной консервативной системе (гармоническому осциллятору) [1, C. 479]. Относительно самой функции 
( , , / )
f x y t p
 обычно предполагается ее ограниченность и непрерывность для любого 
t
(либо ограниченность и наличие 
только конечного числа точек разрыва). Задача состоит в нахождении условий существования у (2) периодического 
решения с периодом 
2 p

. 
Следует отметить, что изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор) 
[1, С. 479–534], [6, С.19–21], до сих пор играет особую роль. Одним из важных достоинств таких систем является 
возможность использовать хорошо известные математические свойства процессов колебаний гармонического 
осциллятора с медленно меняющейся частотой в различного вида задачах [7], [8], [9]: от задач обработки сигналов [7] 
до изучения неравновесных экономических систем [9].
Исследование поведения траекторий синхронизуемого осциллятора (1), (2) может быть сведено к изучению 
точечного отображения 
T