International research journal

 секущей поверхности 
[ / (2
)]2
t
t
p
p



 фазового пространства , ,
x y t  в себя [3], [4], [5] 
(или секущей поверхности t=0 в секущую поверхность 
2
t
p


), порожденного траекториями системы. Для получения 
функций последования отображения можно воспользоваться заменой переменных (x,y)

(a,b) типа Ван-дер-Поля 
[1, C. 481] 
y
x


, 
,
t
sin
b
t
cos
a
x


t
cos
b
t
sin
a
y



При этом 
,
a b
будут определяться дифференциальными уравнениями 
t
sin
)
p
/
t
,
t
cos
b
t
sin
a
,
t
sin
b
t
cos
a
(
f
a







, 
t
cos
)
p
/
t
,
t
cos
b
t
sin
a
,
t
sin
b
t
cos
a
(
f
b






, 
а для отображения T  точек 
0
0
0
(
,
)
M x y
M
0 
в точки 
M ( x, y )
получим 
,
b
y
,
x
x
0
0
0
0


,
p
2
cos
b
p
2
sin
a
y
,
p
2
sin
b
p
2
cos
a
x









где 
),
0
(
y
y
),
0
(
x
x
),
0
(
b
b
),
0
(
a
a
0
0
0
0




)
p
2
(
b
b
),
p
2
(
a
a




, 
),
p
2
(
x
x


)
p
2
(
y
y


. 
Заметим, что согласно [3], [5], [10], с точностью до величин порядка 
2

выражения для 
a
,
b
могут быть 
приближенно представлены формулами 
),
b
,
a
(
F
b
b
~
),
b
,
a
(
F
a
a
~
0
0
2
0
0
0
1
0






(3) 
где

dt
 
t
 
 sin
)
 
t/p
 
t,
 
cos
 
b
 
+
 
t
 
 sin
a
 
-
 
t,
 
sin
b
 
+
 
t
 
cos
 
f(a
=
 
)
b
 ,
(a
F
2p
0
0
0
0
0
0
0
1


(4) 
.

dt
 
t
 
cos
 
)
 
t/p
 
t,
 
cos
 
b
 
+
 
t
 
 sin
a
 
-
 
t,
 
sin
b
 
+
 
t
 
cos
 
f(a
=
 
)
b
 ,
(a
F
2p
0
0
0
0
0
0
0
2


(5) 
Соотношения (3)–(5), порождают приближенное точечное отображение 
T

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
24 
,
p
2
sin
b
~
p
2
cos
a
~
x
~




 


p
2
cos
b
~
p
2
sin
a
~
y
~



 
с функциями последования 
,
p
2
sin
)]
y
,
x
(
F
y
[
p
2
cos
)]
y
,
x
(
F
x
[
x
~
0
0
1
0
0
0
1
0








(6) 




p
2
cos
)]
y
,
x
(
F
y
[
p
2
sin
)]
y
,
x
(
F
x
[
y
~
0
0
1
0
0
0
1
0





(7) 
Поскольку формулы (6)–(7) явные, изучение условий существования синхронного режима с периодом внешней 
силы может быть проведено с помощью изучения условий существования и устойчивости простой неподвижной точки 
0
0
*,
*
x
x
x y
y
y




приближенного точечного отображения 
T
. 
Особый интерес представляет изучение движений квазигармонического осциллятора вблизи главного резонанса (
p
1

 
). В этом случае рассматриваются уравнения вида
Acost]
)
x
g(x,
x
[
x
x










(8) 
где 
g(x,x)
– нелинейная функция. В [1, С. 479-534] было отмечено, что применение асимптотических методов 
исследования квазилинейных дифференциальных уравнений при конечных, хотя и малых, значениях параметра 

возможно лишь для количественного их исследования, поскольку качественное поведение траекторий реальной 
системы и приближенной модели во всем фазовом пространстве могут отличаться друг от друга. Метод приближенных 
точечных отображений применялся для исследования уравнения (8) с различными нелинейностями [3], [5], [11]. При 
этом ключевым стал вопрос о том, является ли при этом бесконечность неустойчивой, как и в реальной системе (такая 
приближенная модель системы называлась невырожденной), или же она устойчива, и возможно лишь локальное 
применение результатов приближенного исследования (а модель была названа вырожденной). 
Получение качественно различных ответов на вопрос о вырожденности - невырожденности математической модели 
в методе приближенных точечных отображений при исследовании синхронизации квазигармонического осциллятора с 
нелинейностями разного вида приводит к задаче о выделении классов нелинейностей, отвечающих случаям 
вырожденности и невырожденности приближенной математической модели. 
Для системы общего вида
Acost]
y)
g(x,
x
[
x
y
,
x
y











(9) 
приближенное точечное отображение 
T
 секущей поверхности t=0 фазового пространства x, y, t в секущую 
поверхность t=2π, приближающее точечное отображение T, порожденное траекториями (9), с точностью до членов 
порядка 
2

, имеет вид 
)],
y
,
x
(
G
y
x
[
x
x
~
0
0
1
0
0
0






(10) 
]
A
)
y
,
x
(
G
y
x
[
y
y
~
0
0
2
0
0
0







(11) 
где 
,
tdt
sin
cos)
y
tt
sin
x
,
t
sin
y
t
cos
x
(
g
1
)
y
,
x
(
G
0
0
2
0
0
0
0
0
1








.
tdt
cos
cos)
y
tt
sin
x
,
t
sin
y
t
cos
x
(
g
1
)
y
,
x
(
G
0
0
2
0
0
0
0
0
2








Причем условием существования неподвижных точек 
0
0
*,
*
x
x
x y
y
y




точечного отображения 
T
является 
наличие решений 
( *, *)
x
y
не зависящей от параметра 

системы уравнений
0
)
y
,
x
(
G
y
x
0
0
1
0
0




, 
0
A
)
y
,
x
(
G
y
x
0
0
2
0
0





. 
В дальнейшем будем предполагать, что неподвижная точка отображения 
T
 существует и устойчива [3], [5], [11].
Для исследования вопроса о вырожденности – невырожденности построенной приближенной математической 
модели используем метод функций Ляпунова, распространенный на случай дискретных систем [12], [13, С. 36-49], [14, 
С.145-172]. 
В качестве функции Ляпунова выберем функцию 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
25 
2
0
2
0
0
0
y
x
)
y
,
x
(
V


(12) 
Первая разность функции Ляпунова (12) в силу формул точечного отображения (10)-(11) имеет вид 







)
y
x
)(
2
)
1
(
[(
)
y
,
x
(
V
)
y
~
,
x
~
(
V
)
y
,
x
(
V
2
0
2
0
2
0
0
0
0







)
y
,
x
(
G
x
)(
1
(
2
0
0
1
0



)
y
,
x
(
G
x
(
2
))
y
,
x
(
G
y
0
0
2
0
0
0
2
0





))
y
,
x
(
G
)
y
,
x
(
G
(
))
y
,
x
(
G
y
0
0
2
2
0
0
2
1
0
0
1
0

].
A
)
x
y
)
1
((
A
2
2
0
0






(13) 
Таким образом, если 
,
0
y
x
)
y
,
x
(
G
)
y
,
x
(
G
lim
2
0
2
0
0
0
2
2
0
0
2
1
y
x
2
0
2
0






(14) 
то определяющим членом (13) при 
2
2
0
0
x
y

 
является 
2
2
2
0
0
(
(1
) 2)(
),
x
y
 




и знак 
0
0
(
,
)
V x y

при 
2
2
0
0
x
y

 
зависит от знака. Заметим, что 
0
0
(
,
)
0
V x y


при 
2
2
0
0
x
y

 
, если 
|
|
2 / (
) 1




, 
0
2



. То 
есть при больших значениях 
2
2
0
0
x
y

итерации отображения входят внутрь сечений функции Ляпунова 
0
0
0
(
,
)
V x y
V

, 
с которых начинают движение, и бесконечность неустойчива. Но 
0
0
(
,
)
0
V x y


, если 
|
|
2 / (
) 1




, 
0
2



и 
всегда при
2
 
, т.е. в этом случае итерации точечного отображения переходят на внешние по отношению к 
начальному сечения 
0
0
0
(
,
)
V x y
V

причем 
0
V
 
для этих сечений, и бесконечность устойчива даже в случае 
существования устойчивой неподвижной точки отображения. Таким образом, можно сделать вывод о том, что область 
|
|
2 / (
) 1




, 
0
2



пространства параметров является областью невырожденности приближенной модели в 
этом случае. Если же имеет место соотношение 
,
y
x
)
y
,
x
(
G
)
y
,
x
(
G
lim
2
0
2
0
0
0
2
2
0
0
2
1
y
x
2
0
2
0







(15) 
то определяющим членом (13) при 
2
2
0
0
x
y

 
является 
2
2
2
1
0
0
2
0
0
(
) [
( ,
)
( ,
)]
G x y
G x y


и 
0
0
(
,
)
0
V x y


при 
больших 
2
2
0
0
x
y

вне зависимости от величины параметров системы, что означает устойчивость бесконечности, и 
вырожденность приближенной модели.