International research journal

Актуальность, теоретическая и практическая значимость работы 
Актуальность исследования геометрии изгибаемых абсолютных (диких) узлов и кос в трехмерном паутинном 
пространстве обусловлена тем, что она является обобщенной моделью Антуана компакта трехмерного пространства, 
привлекающего на протяжении почти века внимание геометров, топологов и физиков. Несмотря на то, что работа носит 
теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах маломерной 
топологии, спирально винтовой геометрии и топологии, а также в архитектурно - строительной инженерии при 
строительстве высотных спирально винтовых сооружений (где устойчивость витков сооружений играет важную роль). 
Напоминаем, что узел называется ручным, если существует его расширение до полнотория 
2
1
D
S

, допускающее 
вложение в 3 - сферу. А дикими называются узлы, содержащие дуги Фокса - Артина - некоторые простые дуги, 
полученные диким вложением в трехмерное евклидово пространство 
3
E
. Также легко можно построить дикий узел, 
содержащий не только одну, а несколько патологических точек, образующих канторово множество. Если для любых 
двух непрерывных функций 
)
(t

и 
)
(t

на отрезке 
]
,
0
[ t
существует гладкая кривая кривизна и кручения которой 
определяются уравнениями кривой 
( )
( )
k
t
t

 


 

(1) 
то уравнения кривой (1) не зависят от выбора системы координат. Поэтому кривая определена уравнениями кривой 
(1) однозначно с точностью до перемещения в пространстве. Следовательно, уравнения пространственной кривой (1) 
задают её кривизну и кручения с учётом того, что отношение кручения к кривизне постоянно. По сути дела, кривизна 
— это мера отклонения кривой от касательной, а кручение — это мера отклонения кривой от соприкасающейся 
плоскости. Но, с другой стороны, для координатных функций кривой имеет место уравнение 
















 





 







 





 







 
)
(
2
2
,
2
sin
2
,
2
cos
2
2
2
2
2
2
2














k
z
k
k
y
k
k
x
(2) 
которое определяет винтовую линию, лежащую на круговом цилиндре 
2
2
2
2
2
2
)
(




k
k
y
x
(3) 
Так как нормали в точках поверхности, образованной касательными к винтовой линии, образуют постоянный угол 
с осью винта, то чем больше мера отклонения кривой от соприкасающейся плоскости, тем кривая пространственнее. В 
противном случае кривая меньше отличается от плоской кривой. Подобно тому, что при винтовом движении точек 
образуются винтовые линии (цилиндрические, конические, сферические и гиперболические) и при винтовом движении 
отрезка прямой линии получается винтовая поверхность, можно получить винтовое геометрическое тело. Если какую-
либо плоскую фигуру передвигать по поверхности круглого цилиндра так, чтобы вершины плоской фигуры 
перемещались по винтовым линиям, а плоскость плоской фигуры постоянно проходила через ось круглого цилиндра, 
то образуется винтовой выступ, ограниченный винтовыми и цилиндрическими поверхностями. Следовательно, 
построение такого винтового выступа сводится к построению стольких винтовых линий, сколько вершин у выбранной 
плоской фигуры. Из пространственных кривых линий, в технике широко применяются цилиндрические винтовые линии 
одинакового уклона - геликоиды. 
Как геометрическая фигура, геликоид по своему значению по разнообразию форм и свойств не имеет себе равных. 
Иначе говоря, геликоид — это винтовая поверхность, описываемая параметрическими соотношениями, образованная 
движением прямой, вращающейся вокруг перпендикулярной к ней оси и одновременно поступательно движущейся в 
направлении этой оси с пропорциональной скоростью этих движений. Главной особенностью этой винтовой линии 
является минимальная величина, подвергаемая к любой деформации её площади при заданной внешней границе. Так 
как изгибание поверхности представляет собой топологическое отображение, то есть гомеоморфизм, который 
исключает сжатие и растяжение, то небольшую локальную область геликоида можно изометрически продеформировать 
в локальной области катеноида или однополостного гиперболоида.