Iqtisodiy -matematik usullar va modellar

1. Shimoli–g’arbiy burchak usuli. Faraz qilaylik, transport masalasining shartlari quyidagi jadvalga joylashtirilgan bo’lsin.

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

«Shimoli-g’arbiy burchak» usulining goyasi quyidagilardan iborat. Eng avval shimoli-g’arbda joylashgan. noma’lumning qiymatini aniqlaymiz. Agar a₁b₁ bo’lsa, =a₁₁ va =0 , agar b₁a₁ bo’lsa, =a₁₁ va =0 (j=2,n) bo’ladi. Faraz qilaylik, 1-hol bajarilsin. Bu holda 1-qadamdan so’ng masalaning yechimlaridan tashkil topgan matritsa quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

1-qadam.

Endi ikkinchi qatordagi birinchi elementning qiymatini topamiz:

Agar a₂>b₁-a₁ bo’lsa, x₂₁= b₁-a₁ va x_i1=0, (i=3,m),

Agar a₂<b₁-a₁ bo’lsa, x₂₁= a₂ va x_2j=0, (i=2,n),

Faraz qilaylik, yangi matritsa uchun ham birinchi hol bajarilsin, u holda

2-qadam.

Huddi shunday har bir qadamda birorta x_ij ning qiymati topiladi. x_ij =min(a_ib_j) va a_i yoki b_j nolga aylantiriladi.

Bu jarayon barcha a_i va b_j lar nolga aylanguncha takrorlanadi. Ma’lumki, har bir x_ij ning qiymati a_i va b_j larning turli kombinatsiyalarini ayirish yoki qo’shish yordami bilan topiladi, shuning uchun a_i va b_j lar butun bo’lganda topilgan tayanch bilan butun sonli bo’ladi. Bundan tashqari, yuqoridagi 2-teoremaga asosan tayanch rejadagi noldan farqli x_ij noma’lumlar soni m+n-1 dan oshmaydi.

Ko’p bosqichli transport masala mahsulot ishlab chiqarish punktidan iste’mol qiluvchi punktga yetib borish jarayonida vositachi orqali yetib boradi. Bu masalaning 2 xil ko’rinishi bo’lishi mumkin:

1. 
   A V  S
   
2. 
   A V S
   

Bu yerda A-ishlab chiqarish punktlar; V-vositachi yoki baza; S-iste’mol qiluvchi punktlar.

Birinchi turdagi masalada ishlab chiqarish punktlar bilan iste’mol qiluvchi punktlar orasida tugri aloqalar yuk va mahsulot albatta vositachi orqali yetkazib beriladi.

Ikkinchi turdagi masalada mahsulotning ayrim qismi bevosita ishlab chiqarish punktdan iste’mol qiluvchi punktga yetkazib berilishi mumkin, ya’ni ishlab chiqaruvchilar bilan iste’molchilar orasida tugri aloqalar mavjud.

Ko’p bosqichli transport masalasining matematik modelini tuzish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

i-ishlab chiqaruvchi punktlar soni

k-vositachilar soni

j-iste’mol punktlar soni

A_j-ishlab chiqarish punktdagi mahsulot hajmi

C_k-vositachi qabul qilish quvvat i

B_j-iste’molchilarning ehtiyoji

t_ik-ishlab chiqarish punktdan vositachiga bir birlik mahsulot yetkazib berish transport harajati

t_kj-bir birlik mahsulotni vositachidan iste’mol qiluvchi punktga yetkazib berish uchun transport harajatlari

X_k-vositachining ishlatilmasdan qolgan quvvat i.

Noma’lumlar sifatida quyidagi ko’rsatkichlar qabul qilinishi mumkin:

X_ik-i-ishlab chiqaruvchi punktdan k vositachiga yetkazib berilgan mahsulot hajmi.

Xkj-k-vositachidan j-iste’molchiga yetkazib berilgan mahsulot hajmi.

3. 
   Bichish rеjasini optimallashtirish mеzonlarini ayting.
   

Sanoat korxona larida matеriallardan foydalanishda qiyqimlar miqdorini kamaytirish optimallash masalasi va uni yechish usullari

700 sm uzunlikdagi matеriallarning bichish usullari

2-jadval

Dеtallar uzunligi	1 komp. matеriallardan bichiladigan variantlardagi dеtallar soni															Berilgan uzunlikdagi dеtallarning soni
	1	2	3	4	5	6	7	8		9		10
230	3	2	2	1	1	1	0	0		0		0		60
190	0	1	0	2	1	0	3	2	1				0		90
80	0	0	3	1	3	5	1	4	6				8		320
CHiqindi	10	50	0	10	40	70	50	0			30	60

4. 
   Yechish: Xi dеb i usul bilan bichishda sarflanadigan matеrial miqdorini bеlgilaymiz. Bu masalada iq1,10 bo’lgani uchun bichishning 10-ta usuli bor.
   
5. 
   Masalaning matеmatik modеlini tuzamiz.
   
6. 
   1. Maqsad funksiya–chiqindilar miqdorini kamaytirish mеzoni bo’yicha tuziladi va quyidagi ko’rinishga ega.
   
7. 
   L(x)=S_ix_i=10x₁+50x₂+0x₃+10x₄+40++70x_b + 50x₇ + 0x₈ + 30x₉ + 60x₁₀min
   
8. 
   Chеgaraviy shartlar: Dеtallarning uzunliklari bo’yicha ularning umumiy miqdoriga mos kеlishi kеrak,
   
9. 
   ya`ni 3x₁+2x₂+3x₃+x₄ +x₅+x₆=60
   
10. 
    x₂+2x₄ +x₅+3x₇+2x₈+x₉=90
    
11. 
    3x₃+x₄+3x₅+5x_b+x₇+4x₈+6x₉+8x₁₀=320
    
12. 
    xi  0 (i=1,10)
    
13. 
    Bu masalani chiziqli dasturlashning Simplеks usuli yordamida yechamiz va quyidagi natijalarni olamiz. x₃=30 , x₈=39 , x₉=12.
    
14. 
    Bichishning optimal varianta quyidagi jadval ko’rinishda ifodalaymiz.
    
15. 
    Jadval.3
    

    Ko’rsatkichlar	Bichish usullari	jami bichilgandagi dеtallar
    Bichish usullarida olinadigan dеtallar soni	3 8 9 30 39 12	81
    230	60 - -	60
    190	- 78 12	90
    80	90 156 72	318
    chiqindi (sm)	0 360

16. 
    3-chi jadvaldan ko’rinib turibdiki, 3, 8 va 9 usullar bilan bichilganda chiqindilar kam (360 sm) chiqar ekan. Optimal rеja bo’yicha jami 81 ta dеtal, ya`ni 3 usulda 30 ta, 8 da 39 ta va 9 da 12 ta chiqar ekan. Bu dеtallarning umumiy uzunligi 700*81=56700 sm bo’lib, matеriallarning bichilgan qismi uzunligi esa quyidagicha 56700-375=56325 sm. Demak matеriallarning 99.3 foizi foydalanib 0.07 foizi chiqindiga chiqadi. ((56325/56700)*100=99.3%)
    

4. Ishlab chiqarish dasturini optimallash tushunchasi

Chiziqli dasturlash usullari yordamida masalarning matematik ifodalarini tuzish va ularni elektron hisoblash mashinalari yordamida hisoblash, unga sarflanadigan vaqt va boshqa harajatlardan ishlab chiqarish dasturini optimallashdan olinadigan foyda bir necha barobar ko’p bo’lishi mumkin. Ishlab chiqarish dasturini optimallash masalalari bo’yicha matematik ifodalar tuzayotganda bir necha shartlarga rioya qilish talab etiladi:

1.Yechiladigan masalaning asosiy maqsadi aniq ta`riflangan bo’lib, u miqdoriy o’lchamlarga ega bo’lishi kerak.

2.Masalaning echilish shartlari, uning maqsadi kabi miqdoriy o’lchamlarga ega bo’lib, masalaning maqsadini ifodalovchi ko’rsatkichlar bilan miqdoriy bog’lanishda bo’lishi kerak. Shu shartlar bajarilgandagina masalaning to’la matematik ifodasini tuzish mumkin. Ishlab chiqarish dasturini optimallash masalalarida masalaning maqsadini ifodalovchi mezon ko’rsatkichlari sifatida quyidagi iqtisodiy ko’rsatkichlarni qabul qilish mumkin:

1. Ishlab chiqarilgan mahsulotning xajmini natura va qiymat ko’rsatkichlarida oshirish;

2. Mehnat unumdorligini yuksaltirish;

3. Ishlab chiqarilgan mahsulot tannarxini kamaytirish;

4. Mahsulotni sotishdan olinadigan foydani ko’paytirish;

5. Ishlab chiqarish dasturini bajarish uchun sarf bo’ladigan xom ashyolarning yoki mehnat miqdorini kamaytirish;

6. Korxonalarning samaradorlik darajasini yuksaltirish va shunga uxshashlar.

Masalalarning yechilish shartlari qilib esa korxonalarda mahsulotlar ishlab chiqarish uchun kerak bo’lgan shart sharoitlar qabul qilinadi. Ma`lumki, mahsulotlarni ishlab chiqarish shart sharoitlariga asosan mehnat vositalaridan, xom ashyolardan, mehnat resurslaridan foydalanish kiradi. Yuqorida ta`riflangan masalaning maqsadi va uning echilishi shartlarini ifodalovchi matematik ifodalarni tuzish uchun quyidagi shartli belgilardan foydalanamiz:

1. 
   dastgohlar turlari soni
   

10. 
    mahsulot turlari soni
    

X_ij-i turdagi dastgohda ishlab chiqarilgan j turdagi mahsulot hajmi

tij-i turdagi dastgohda ishlab chiqarilgan j-turdagi mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarflanadigan ish vaqti t ijr-j turdagi mahsulotni bir birligini i turdagi dastgohda ishlab chiqarilganda sarf bo’ladaigan r kasbdagi ishchilarning ish vaqti a ij-j turdagi mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun i turdagi dastgohning sarflaydigan ish vaqti

lijk-i turdagi dastgohda ishlab chiqarilgan j turdagi mahsulotning bir birligiga sarf qilinayotgan k turdagi xom ashyoning miqdori

Sij-i turdagi dastgohda ishlab chiqarilgan j turdagi mahsulotning tannarxi

Pij-i turdagi dastgohda ishlab chiqarilgan j turdagi mahsulotning bir birligini sotishdan olinadigan foyda.

Cij-j turdagi mahsulotning sotilish bahosi.

Mi-i turdagi dastgohlarning ish soatlarining jamg’armasi (fondi).

Vj-j turdagi mahsulotlarning ishlab chiqarish rejasida ko’zda tutilgan xajmi.

T1 va T2-mos holda korxonadagi mehnat jamg’armalarining miqdori A k - korxonalarning k turdagi xom ashyolarining jamg’armasi. Ushbu shartli belgilardan foydalanib, ishlab chiqarish dasturini optimallash masalasining matematik ifodasini tuzish mumkin. Bizga ma`lumki, xar qanday iqtisodiy masalaning jumladan, optimallash masalasining matematik ifodasi maqsad funksiyasida va masalaning echimi shartlarining ifodalovchi tenglik va tengsizliklardan iborat bo’ladi. Ishlab chiqarish dasturini optimallash masalasining maqsad funksiyalari tuzishda bir necha xil yuqorida aytib utilgan texnik-iqtisodiy ko’rsatkichlardan mezon ko’rsatkichi sifatida foydalanish mumkin. Bu ko’rsatkichlardan qaysi birini tanlab olish ishlab chiqarish dasturini optimallash masalasini engildan kuzda tutilgan maqsadga bog’liq.

Agar korxona o’zining miqdor ko’rsatkichlarining yuksaltirmoqchi bo’lsa, ishlab chiqarilgan mahsulotlarning hajmi, mehnat unumdorligi, mahsulotlarni sotishdan olingan foyda kabi ko’rsatkichlarni maqsad funksiyasi tuzish uchun mezon ko’rsatkichlari sifatida qabul qilish mumkin. Agar korxona ishlab chiqarish hajmini o’zgartirmasdan o’zining iqtisodiy ko’rsatkichlarini yaxshilamoqchi, ya`ni o’zining barcha resurslardan foydalanish samaradorligini yuksaltirmoqchi bo’lsa, u holda mezon ko’rsatkichlari sifatida mahsulotlarni ishlab chiqarishga sarf bo’layotgan xom ashyolar, mehnat jamg’armalari, mahsulotning tannarxi kabi ko’rsatkichlarni qabul qilish mumkin.

Ishlab chiqarish dusturini optimallash masalasining bir necha mezonlar bo’yicha tuzilgan maqsad funksiyalarini keltiramiz:

1. Ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini yuksaltirish mezoni bo’yicha:

2. 
   Korxonaning tovar mahsuloti xajmini yuksaltirish mezoni bo’yicha:
   

3. 
   Ishlab chiqarilgan mahsulotlarni sotishdan olingan foydani ko’paytirish mezoni bo’yicha:
   

4. 
   Ishlab chiqarilgan mahsulotlarga sarf bo’layotgan mehnatni kamaytirish mezoni bo’yicha:
   

5. 
   Ishlab chiqarilayotgan mahsulotlarga sarflanayotgan xom ashyo miqdorini kamaytirish mezoni bo’yicha:
   

6. 
   Ishlab chiqarilayotgan tovar mahsulotlarining tannarxini kamaytirish mezoni bo’yicha:
   

Yuqorida keltirilgan mezonlar bo’yicha tuzilgan matematik ifodalar chiziqli dasturlash usulini qo’llab echilishi mumkin. Ishlab chiqarish dasturini optimallash masalasida maqsad funksiyalarga nisbiy ko’rsatkichlarni mezon sifatida tanlab olinganda maqsad funksiyalar quyidagicha tuziladi:

7. 
   Mahsulotning bir birligigiga sarflanayotgan mehnatning miqdorini kamaytirish mezoni bo’yicha:
   

8. 
   Ishlab chiqarilgan mahsulot tannarxida harajatlarni kamaytirish mezoni bo’yicha:
   

9. 
   Shunga o’xshash kasr chiziqli maqsad funksiyalarni mexnat unumdorligi va mahsulot ishlab chiqarish samaradorligi ko’rsatkichlari bo’yicha tuzish mumkin, ya`ni:
   

10. 
    Mehnat unumdorligini natural va qiymat ko’rsatkichlarida yuksaltirish mezonlari bo’yicha:
    

10. 
    Mahsulotni ishlab chiqarish samaradorligini yuksaltirish mezoni bo’yicha:
    

Ma`lumki, yuqorida keltirilgan maqsadlarga ishlab chiqarish korxonalirining aniq sharoitlari hisobga olingan holda erishiladi. Bu sharoitlar korxonaning hamda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning sotish faoliyatlarini aks ettiruvchi shart-sharoitlardir.

Masalan, korxonalarga ma`lum turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun etarli darajada ishlab chiqarish imkoniyatlari bo’lishi kerak. Undan tashqari, ishlab chiqarilgan mahsulotga haridorlarning talablari ham inobatga olingan holda korxonaning faoliyati tashkil etilishi kerak.

Bundan tashqari korxonadagi resurslar chegaralangan bo’ladi. SHuning uchun yuqorida qayd etilgan shartsharoitlarni aks ettiruvchi matematik ifodalar tuzish kerak. U sharoitlarni quyidagicha ta`riflab, uning matematik ifodalarini tuzamiz:

1. 
   
   

Ishlab chiqarish dastgohlarining ish vaqti jamg’armasidan foydalanish sharti:

2. 
   
   

Korxonadagi k turdagi xom ashyolarning jamg’armalaridan foydalanish sharti:

3. 
   
   

Korxonadagi mavjud bo’lgan r kasbdagi ishchilarning ish vaqti jamg’armasidan foydalanish sharti:

4. 
   
   

Haridorgir mahsulotlarni ishlab chiqarish sharti:

5. 
   
   

Mahsulotga bo’lgan talab reja darajasida ishlab chiqarilishi sharti:

6. 
   
   

4. 
   Transport masalasini yechishning shimoliy-g'arb burchak usulining mohiyati