Isbot. Teorema shartiga ko’ra: bundan

2-Misol.
sitemani yeching.
Yechimi. bir jinsli sistemaning umumiy yechimini topib olamiz. Bu tenglamaning harakteristik tenglamasini tuzamiz:

Uning ildizlari va Demak, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lar ekan.
Bizning misolimizda harakteristik tenglamaning bir karrali ildizi bo’lgani uchun, berilgan tenglamaning xususiy yechimini

ko’rinishda qidiramiz. Buni tenglamalar sistemasiga qo’yib va larni topish uchun tenglamalarga ega bo’lamiz:

Bu tenglamalardan

ifodalarni olamiz, shunday qilib, xususiy yechim

ko’rinishda, berilgan tenglamalar sistemasining umumiy yechimi esa

bo’lar ekan.
3-misol sistemani yechimini topilsin.

Yechimi. Sistemaning 2-ch satridan x-ni topamiz va bir martta hosila olib berilgan sistemaning 1-chi satriga obborib quyamiz.

va natilada quyidagi tenglikka ega bo’lamiz.

Bundan ko’rinadiki xarakteristik tenklamamiz
ko’rinishda va ekan.
Demak biz y ga nisbatan mos bir jinsli yechim ko'rinishini quyidagicha ifodalashimiz mumkin.
bundan bir martta hosila olib sistemamizning 2-chi
Satridagi y hamda larning urniga quysak x ni ham topamiz.



Endi yuqoridagilarga asosan umumiy yechim ko’rinishini quyidagisha ifodalashimiz mumkin


2.2. O’zgarmasni variatsiyalash usuli
Agar (1.2) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin. Bu- “O’zgarmasni variatsiyalash metodi” bilan amalga oshiriladi. Quyida shu metodning mohiyati bilan tanishamiz.
Aytaylik, funksiya (1’) tenglamaning umumiy yechimi bo’lsin. Bu formulada -lar ixtiyoriy o’zgarmaslar ekani ma’lum. Endi (2) tenglamaning yechimini shunga o’xshsash
(10)
ko’rinishida izlaymiz. (10) funksiya (2) tenglamaning yechimi bo’lsin deylik. U holda quyidagiga ega bo’lamiz:

Topilgan ifodani (1.2)- tenglamaga qo’yamiz:

Bunda
ekanini hisobga olib quyidagiga ega bo’lamiz:

yoki
(11)
topilgan (11) Sistema uchun bo’lganidan u -larga nisbatan chiziqli bir jinsli bo’lmagan sistemadan iborat.Uning Determinanti: . Demak, (11) dan -larning yagona ifodalarini topamiz:

Bunda Bu ifodani (10)-ga qo’yamiz:
(12)
Bu yerda -lar ixtiyoriy o’zgarmaslar.
O’zgarmasni variatsiyalash metodining mohiyati ana shundan iborat.
Topilgan (12) formulaga diqqat bilan e’tibor qilsak, bu formula mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimi (xususiy yechimi)
yig’indisidan iborat. Bu funksiya haqiqatan ham xususiy yechim ekanini ko’rsatish qiyin emas. Buning uchun (2) tenglama ayniyatga aylanishini ko’rsatamiz:

Bu sodda hisoblashlar yuqoridagi tasdiqni isbotlaydi.
Misol. ushbu

sistemani integrallang.
Yechish. Mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimi

ko’rinishida yoziladi. Sistemani o’zgarmasni variatsiyalash metodi bilan integrallaymiz. Yechimni

ko’rinishida izlaymiz. -larni topish uchun ushbu

Sistemaga egamiz. Undan va kelib chiqadi. Shunday qilib, umumiy yechimni quyidagicha yozamiz: