Isbot. Teorema shartiga ko’ra: bundan

14-ma’ruza
CHIZIQLI BIR JINSLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI. YECHIMNING MAVJUDLIGI VA YAGONALIGI HAQIDA TEOREMA. O’NG TOMONI MAXSUS KO’RINISHDA BO’LGAN CHIZIQLI O’ZGARMAS KOEFFITSIENTLI TENGLAMALAR SISTEMASI
Yuqorida ta’kidlab o’tilgan (3) tenglamani o’rganishga o’tamiz.
7-teorema. Agar vektor-funksiya (3) chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama tenglamaning yechimi,
esa mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya (3) tenglamaning I intervalda aniqlangan yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra:

bundan,
Teorema isbot bo’ldi.
8-teorema (umumiy yechim haqida).Agar b(x) vektor va A(x) matritsa I intervalda uzluksiz bo’lib, funksiya mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va funksiya esa tegishli bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimi
(9)
formula bilan yoziladi.
Isbot. Shart bo’yicha Shuning uchun
, demak (9) formula bilan berilgan funksiya (3) tenglamaning ixtiyoriy yechimni olaylik.
yechimni olaylik. bo’lganda ushbu
(10)
sistemaga egamiz. Unda bo’lgani uchun (10) sistema larga nisbatan bir jinsli bo’lmagan chiziqli sistemadir. Uning determinanti Vronskiy determinantidan iborat, u holda ravshanki . Shuning uchun (10) sistemadan yagona larni topamiz. Demak,
.
Bu esa (9) formula umumiy yechim formulasi ekanini isbot etadi. Teorema isbot bo’ldi.
Misol 1

harakteristik tenglama tuzamiz

b) Faraz etaylik harakteristik tenglama konpleks ildizga ega bo’lsin. Harakteristik tenglamaning koeffisiyentlari haqiqiy sonalardan iborat bo’lgani uchun u ga qo’shma bo’lgan kompleks ildizga ham ega bo’ladi..
Harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

kompleks son bo’lgani uchun uni ko’rinishda yozish mumkin. U holda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan ko’rinadikim harakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.