Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati
Download 0.5 Mb.
|
Abdurahimova04.21Uch karrali
2-§. Ostrogradskiy fotmulasi
Ikki karrali integrallar nazariyasida biz tekis soha bo`yicha olingan ikki karrali integralni shu sohaning konturi bo`yicha olingan egri chiziq bilan bog`lovchi Grin formulasi bilan tanishgan edik. Uch karrali integrallar nazariyasida unga o`xshash formula Ostrogradskiy formulasidir; u fazoviy soha bo`yicha olingan uch karrali integralni uning chegarasi bo`yicha olingan sirt integrali bilan bog`laydi. Yasovchilari o`qiga parallel bo`lgan slindrik sirt bilan va silliq sirtlar bilan chegaralangan jismni ko`raylik. Bu yerda yo`naltiruvchi bo`lib, jismning tekisligiga proyeksiyasi bo`lgan sohani chegaralovchi (nol yuzli) bo`lakli – silliq yopiq egri chiziq xizmat qiladi sohada biror funksiya aniqlangan bo`lib, u va uning xususiy hosilasi butun sohada (chegarasi bilan birga) uzluksiz bo`ladi. U holda (1*) formula o`rinli bo`ladi, bu yerda jismni chegaralovchi soha bo`lib, o`ng tomondagi integral uning tashqi tomoni bo`yicha olingan. Darhaqiqat, (7a) formulaga binoan Mulohazamizga sirt integrallarini kiritadigan bo`lsak, va Formulalarga ko`ra,
deya olamiz va bu yerda o`ng tomondagi birinchi integral sirtning yuqori, ikkinchi integral esa ning quyi tomoni bo`yicha olingan bo`ladi. Bu tenglik, uning o`ng tomoniga sirtning tashqari tomoni bo`yicha olingan integral nolga teng, integralni qo`shish bilan buzilmaydi. Uchala sirt integralini jamlab, (1*) formulani hosil qilamiz. U Ostrogradskiy formulasining xususiy ko`rinishidir. (1*) formula jismlarning kengroq sinfi – o`rganilgan tipdagi jismlarga ajratilishi mumkin boаlgan jismlar sinfi uchun ham to`g`ri ekanligini tushunish oson. Umuman, (1*) formulaning ixtiyoriy bo`lakli – silliq sirt bilan chegaralangan jismlar uchun ham to`g`ri еkanligini isbotlash mumkin. Agar va funksiyalar sohada o`z hosilalari va lar bilan birga uzluksiz jo`lsalar,ular uchun ham (1*) formulaga o`xshash (2*) (3*) formulalar o`rinli bo`ladi. (1*), (2*) va (3*) formulalarni jamlab Ostrogradskiyning umumiy formulasini hosil qilamiz: (4*) U yopiq sirtning tashqi tomoni bo`yicha olingan umumiy ko`rinishdagi ikkinchi tur sirt integralini shu sirt bilan chegaralangan jism bo`yicha olingan uch karrali integral orqali ifodalaydi. Agar birinchi tur sirt integrallaridan ham foydalanadigan bo`lsak, Ostrogradskiy formulasining boshqa, ko`p qo`llaniladigan va xotirada yaxshi saqlab qolinadigan ko`rinishga ega bo`lamiz: (5*) bu yerda sirt tashqi normaliningkoordinata o`qlari bilan tashkil qilgan burchaklari. Eslatma 1. Ba`zan Ostrogradskiy formulasini Gauss nomi bilan ataydilar. Gauss asarlarida bu formulaning nihoyatda xususiy hollarigina uchraydi va ular har gal qayta isbotlanadi. Umumiy (4*) ko`rinishida bu formula birinchi marta 1828 yili Ostrogradskiy tomonidan keltirilgan; u bu formulani qattiq jismda issiqlik tarqalishi masalasiga qo`llagan. Eslatma 2. Grin, Stoks va Ostrogradskiy formulalari yagona bir g`oya bilan bog`langanlar; ula biror geometric obraz bo`yicha olingan integralni shu obrazning chegarasi bo`yicha olingan integral orqali ifodalaydilar. Grin formulasi ikki o`lchovli fazoga, Stoks formulasi ham ikki o`lchovli, ammo “ egri “ fazoga taalluqli bo`lsa, Ostrogradskiy formulasi uch o`lchovli fazoga taalluqlidir. Integral hisobning asosiy formulasiga ham bir o`lchovli fazo uchun yuqoridagilarga o`xshash formula deb qarash mumkin. Download 0.5 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling