Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati

Tadqiqot ishining obekti: sifatida uch karrali integral, uch karrali integralni hisoblashni, bo’lakli uzliksizlik va bo’lakli differensiallanuvchanlik, tor tebranish teoremalari, direxle maslalari, qismiy yig’indilar tanlangan
Tadqiqot ishining predmeti: Uch karrali integral funksiyalarni davriy davom ettirish, garmonikalar, Fure qatorlarining yqinlashuvchanligi, Tor tebranish tenglamasini o’zgaruvchanligilar.
Asosiy qism:
1-§. Uch karrali integrallar va uni hisoblash
Jism massasini hisoblash to`g`risidagi masala. Massalar bilan to`ldirilgan biror jism berilgan bo`lib, uning har bir nuqtasidagi massalar taqsimotining zichligi ma`lum bo`lsin. Jismning butun massasi ni aniqlash talab etiladi.
Bu masalani yechish uchun jismni

bo`laklarga ajratamiz va har biridan bittadan

n uqta tanlaymiz. bo`lakda zichlik o`zgarmas va xuddi tanlangan nuqtadagi zichlikka taqriban teng deb qabul qilaylik. U holda bu bo`lakning massasi taqriban quyidagicha ifodalanadi:

butun jismning massasi esa

bo`ladi. Agar hamma bo`laklarning diametrlari nolga intilsa, limitda bu taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi, ya`ni

(1)
binobarin, masala hal etiladi.
Ko`ryapmizki, bu yerda ham masala yechimi bizni o`ziga xos yig`indining – biz butun kurs davomida ko`p martalab murojaat qilgan turli xildagi integral yig`indilarga o`xshash yig`indining limitini o`rganishga olib keldi.
Mexanika va fizikada ko`pincha yuqoridagiga o`xshash limitlarni o`rganishga to`g`ri keladi; ular uch karrali integral deb nom olganlar. Ular uchun kiritilgan belgilarda yuqoridagi natija bunday yoziladi:
(2)
Uch karrali integral va uning mavjudlik sharti.
Uch karrali integralning umumiy ta`rifini tuzishda jismning hajmi tushunchasi (ikki karrali integral ta`rifi asosida tekis shakl yuzi tushunchasi yotgani kabi) asosiy rol o`ynaydi.
Berilgan jisimning hajmi mavjud bo`lishi sharti uni chegaralovchi sirtning nol hajmga ega bo`lishidir. Biz faqat ana shunday sirtlar bilan shug`ullanamiz va, demak, biz ko`radigan hollarda hajmning mavjudligi shu bilan ta`minlanadi. Shuni qayd qilib o`tamizki, sirtlarning bu sinfiga, xususan, silliq va bo`lakli-sillliq sirtlar tegishlidir.
Biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo`lsin. Bu sohani sirtlar to`ri yordamida chekli sondagi bo`laklarga ajratamiz; ularning hajmlari mos ravishda bo`lsin. element dan ixtiyoriy nuqta olamiz, funksiyaning shu nuqtadagi qiymati ni hajm ga ko`paytiramiz va ushbu integral yig`indini tuzamiz:

Bu yig`indining, barcha sohalar diametrlarining eng kattasi nolga intilgandagi limiti funksiyaning sohadagi uch karrali integrali deyiladi. U

simvol bilan belgilanadi.
Bunday chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo`lishi mumkin; bunday funksiya uchun, integral yig`indi dan tashqari, yana Dabru yig`indilari

kiritiladi, bu yerda
Odatdagi yo`l bilan integral mavjudligi ucun
yoki
( ayirma funksiyaning sohadagi tebranishi) shartning zarur va yetarliligi isbot etiladi. [Integral mavjud bo`lsa, ikkala S,s yig`indilar limiti ham unga teng bo`lishini qayd qilib o`taylik.]
Bundan bevosita ko`rinadiki, har qanday uzluksiz funksiya integrallanuvchidir.
Bu sinfni bir oz kengaytirish ham mumkin. Aniqrog`i: barcha uzilishlari chekli sondagi nol hajmli sirtlarda yotgan har qanday chegaralangan funksiya integrallanuvchi bo`ladi.
Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning xossalari. Bu xossalarni sanab o`tamiz.
. Uch karrali integralning mavjudligi va miqdori funksiyaning nol hajmga ega bo`lgan chekli sondagi sirtlarda qabul qiladigan qiymatlariga bog`liq emas.
. Agar bo`lsa,

va chapdagi integralning mavjudligidan o`ng tomondagi integralning mavjudligi kelib chiqadi va aksincha.
. Agar bo`lsa va o`ngdagi integralning mavjudligidan chapdagi integralning mavjudligi kelib chiqadi.
. Agar sohada ikkita va funksiya integrallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va
.
. Agar sohada integrallanuvchi va funksiyalar uchun shu sohada tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda:
.
. Agar integrallanuvchi bo`lsa funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va ushbu tengsizlik o`rinlidir:
.
. Agar da integrallanuvchi funksiya

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda
.
Boshqacha aytganda, o`rta qiymat haqidagi teorema

o`rinli .
funksiya uzluksiz bo`lgan holda bu formulani quyidagi ko`rinishda yozsa ham bo`ladi:
(3) bunda sohaning biror nuqtasidir.
Uch o`lchovli sohaning funksiyasiga , xususan additive funksiya tushunchasi kiritiladi. O`zgaruvchi soha bo`yicha integral
(4) additv funksiyaga muhim misol bo`ladi ( ga qarang). Ilgarigiga o`xуhash funksiyaning soha bo`yicha berilgan nuqtadagi hosilasi tushunchasi kiritiladi: nuqtani o`z ichiga olgan soha shu nuqtaga qisila borganдagi limit

shunday deb ataladi.
. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo`lsa, (4) integralning soha bo`yicha nuqtadagi hosilasi integral ostidagi funksiyaning xuddi shu nuqtadagi qiymatiga, ya`ni ga teng bo`ladi.
Shunday qilib, farazimizga ko`ra (4) integral uzluksiz funksiya uchun ma`lum ma`noda “ boshlang`ich funksiya “ vazifasini bajarar ekan.
Uch karrali integralni hisoblash. Bu yerda ham masala quyi karrali integrallardan tuzilgan takroriy integrallarni hisoblashga keltiriladi. Ko`rilayotgan sohada funksiya uzluksiz bo`lsin deb faraz qilaylik; bu bilan quyida uchraydigan barcha integrallarning mavjudligi ta`minlanadi. Dastavval, funksiya integrallanayotgan jism to`g`ri parallelepiped

dan iborat bo`lgan holni ko`raylik. Bu parallelepipedning teksligiga proeksiyasi

to`g`ri to`rtburchak bo`ladi. U holda, avvalo,
(5)
ga ega bo`lamiz.
Bu yerdagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib, uch karrali integralni hisoblashni, uzil-kesil, ketma-ket uchta oddiy integralni hisoblashga keltiramiz:
. (6)
Aksincha, birinchi ikkita integralni ikki karrali integralga birlashtirsak,
(7)
deb yoza olamiz; bu yerda O`z-o`zidan ravshanki, yuqoridagi munosabatlarning hammasida larning rollarini almashtirish mumkin.
Endi uch karrali integral to`g`ri parallelepipeddan farqli jism bo`yicha olinayatgan bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu jism va tekisliklar orasida joylashgan va ning tayinlangan qiymatiga mos kelib, tekisliklarga parallel har bir tekislik bilan yuzaga ega bo`lgan biror shakl bo`ylab kesishgan deylik; bilan uning tekisligiga proeksiyasini belgilaylik. U holda
(5a)
Bu – (5) formulaning o`xshatmasidir.
Endi jism quyidan va yuqoridan mos ravishda va sirtlar bilan chegaralangan “ silindirik g`o`lacha “ bo`lsin. Bu sirtlarning tekisligiga bo`lgan proeksiyalari nol yuzli egri chiziq bilan chegaralangan biror shakl bo`lsin. Yon tomondan jismni yasovchilari o`qiga parallel bo`lgan hamda yo`naltiruvchisi egri chiziq bo`lgan silindirik sirt bilan chegaralangan desak, u holda (7) formulaga o`xshash bo`lgan
(7a) formulani hosil qilamiz.
Agar soha ikkita
va
egri chiziqlar va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo`lsa, u holda jism yuqoridagi ko`rilgan ikkala holga ham mos keladi: yo (5a) dagi, yoki (7a) dagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib,
(6a) formulani иosil qilamiz. Bu (6) formulani umumlashgan holidir.
Yuqorida kп`rilgan eng soda holdagidek, bu yerda ham olingan formulalar bilбn birga larning o`rinlarini almashtirishdan hosil bo`ladigan ularga o`xshash formulalar ham o`rinlidir.
Misollar. 1) va tekisliklar bilan chegaralangan tetraydr bo`yicha olingan

integral hisoblansin.
Yechish. Bu jisimning tekisligiga proeksiyasi va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakdir. Ravshanki, ning o`zgarish oralig`i dan ga qadar, shu oraliqdagi o`zgarmas bo`lganda esa, o`zgaruvchi dan ga qadar o`zgaradi. Agar ham, ham tayinlangan bo`lsa, nuqta vertical bo`ylab tekislikdan tekislikka qadar harakatlana oladi; shunday qilib, ning o`zgarish chegaralari va bo`ladi. (6a) formulaga ko`ra:
.
Ichki integraldan boshlab, integrallarni ketma – ket hisoblaymiz:


va, nihoyat,

2) Dirixle integrali

shartlar ostida hisoblansin.
(5a) ko`rinishdagi formulada bo`yicha integrallash o`rniga bo`yicha integrallash qo`yib, bu misolga qo`llansak,

ni hosil qilamiz.
almashtirish o`tkazib, ikki karrali integralni
(*)
integralga keltiramiz;

Bundan

(*) dan olingan natijaga o`xshash

ifodani hosil qilamiz. Aslida,bu munosabat umumiyroq shartlarda ham, aniqrog`i bo`lganda ham o`rinlidir. Ammo integral ostidagi funksiya cheksizlikka aylanganida (bu, masalan, bo`lganida tekislikda ro`y beradi) integral “ xosmas ” integral bo`lib qoladi va qo`shimcha ravishda limitga o`tish zaruriyati tug`iladi.