Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati
Download 0.5 Mb.
|
Abdurahimova04.21Uch karrali
- Bu sahifa navigatsiya:
- Asosiy qism: 1-§. Uch karrali integrallar va uni hisoblash Jism massasini hisoblash to`g`risidagi masala
- Uch karrali integral va uning mavjudlik sharti
- Dabru yig`indilari
- Uch karrali integralni hisoblash
Tadqiqot ishining obekti: sifatida uch karrali integral, uch karrali integralni hisoblashni, bo’lakli uzliksizlik va bo’lakli differensiallanuvchanlik, tor tebranish teoremalari, direxle maslalari, qismiy yig’indilar tanlangan
Tadqiqot ishining predmeti: Uch karrali integral funksiyalarni davriy davom ettirish, garmonikalar, Fure qatorlarining yqinlashuvchanligi, Tor tebranish tenglamasini o’zgaruvchanligilar. Asosiy qism: 1-§. Uch karrali integrallar va uni hisoblash Jism massasini hisoblash to`g`risidagi masala. Massalar bilan to`ldirilgan biror jism berilgan bo`lib, uning har bir nuqtasidagi massalar taqsimotining zichligi ma`lum bo`lsin. Jismning butun massasi ni aniqlash talab etiladi. Bu masalani yechish uchun jismni bo`laklarga ajratamiz va har biridan bittadan n uqta tanlaymiz. bo`lakda zichlik o`zgarmas va xuddi tanlangan nuqtadagi zichlikka taqriban teng deb qabul qilaylik. U holda bu bo`lakning massasi taqriban quyidagicha ifodalanadi: butun jismning massasi esa bo`ladi. Agar hamma bo`laklarning diametrlari nolga intilsa, limitda bu taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi, ya`ni (1) binobarin, masala hal etiladi. Ko`ryapmizki, bu yerda ham masala yechimi bizni o`ziga xos yig`indining – biz butun kurs davomida ko`p martalab murojaat qilgan turli xildagi integral yig`indilarga o`xshash yig`indining limitini o`rganishga olib keldi. Mexanika va fizikada ko`pincha yuqoridagiga o`xshash limitlarni o`rganishga to`g`ri keladi; ular uch karrali integral deb nom olganlar. Ular uchun kiritilgan belgilarda yuqoridagi natija bunday yoziladi: (2) Uch karrali integral va uning mavjudlik sharti. Uch karrali integralning umumiy ta`rifini tuzishda jismning hajmi tushunchasi (ikki karrali integral ta`rifi asosida tekis shakl yuzi tushunchasi yotgani kabi) asosiy rol o`ynaydi. Berilgan jisimning hajmi mavjud bo`lishi sharti uni chegaralovchi sirtning nol hajmga ega bo`lishidir. Biz faqat ana shunday sirtlar bilan shug`ullanamiz va, demak, biz ko`radigan hollarda hajmning mavjudligi shu bilan ta`minlanadi. Shuni qayd qilib o`tamizki, sirtlarning bu sinfiga, xususan, silliq va bo`lakli-sillliq sirtlar tegishlidir. Biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo`lsin. Bu sohani sirtlar to`ri yordamida chekli sondagi bo`laklarga ajratamiz; ularning hajmlari mos ravishda bo`lsin. element dan ixtiyoriy nuqta olamiz, funksiyaning shu nuqtadagi qiymati ni hajm ga ko`paytiramiz va ushbu integral yig`indini tuzamiz: Bu yig`indining, barcha sohalar diametrlarining eng kattasi nolga intilgandagi limiti funksiyaning sohadagi uch karrali integrali deyiladi. U simvol bilan belgilanadi. Bunday chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo`lishi mumkin; bunday funksiya uchun, integral yig`indi dan tashqari, yana Dabru yig`indilari kiritiladi, bu yerda Odatdagi yo`l bilan integral mavjudligi ucun yoki ( ayirma funksiyaning sohadagi tebranishi) shartning zarur va yetarliligi isbot etiladi. [Integral mavjud bo`lsa, ikkala S,s yig`indilar limiti ham unga teng bo`lishini qayd qilib o`taylik.] Bundan bevosita ko`rinadiki, har qanday uzluksiz funksiya integrallanuvchidir. Bu sinfni bir oz kengaytirish ham mumkin. Aniqrog`i: barcha uzilishlari chekli sondagi nol hajmli sirtlarda yotgan har qanday chegaralangan funksiya integrallanuvchi bo`ladi. Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning xossalari. Bu xossalarni sanab o`tamiz. . Uch karrali integralning mavjudligi va miqdori funksiyaning nol hajmga ega bo`lgan chekli sondagi sirtlarda qabul qiladigan qiymatlariga bog`liq emas. . Agar bo`lsa, va chapdagi integralning mavjudligidan o`ng tomondagi integralning mavjudligi kelib chiqadi va aksincha. . Agar bo`lsa va o`ngdagi integralning mavjudligidan chapdagi integralning mavjudligi kelib chiqadi. . Agar sohada ikkita va funksiya integrallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va . . Agar sohada integrallanuvchi va funksiyalar uchun shu sohada tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda: . . Agar integrallanuvchi bo`lsa funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va ushbu tengsizlik o`rinlidir: . . Agar da integrallanuvchi funksiya tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda . Boshqacha aytganda, o`rta qiymat haqidagi teorema o`rinli . funksiya uzluksiz bo`lgan holda bu formulani quyidagi ko`rinishda yozsa ham bo`ladi: (3) bunda sohaning biror nuqtasidir. Uch o`lchovli sohaning funksiyasiga , xususan additive funksiya tushunchasi kiritiladi. O`zgaruvchi soha bo`yicha integral (4) additv funksiyaga muhim misol bo`ladi ( ga qarang). Ilgarigiga o`xуhash funksiyaning soha bo`yicha berilgan nuqtadagi hosilasi tushunchasi kiritiladi: nuqtani o`z ichiga olgan soha shu nuqtaga qisila borganдagi limit shunday deb ataladi. . Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo`lsa, (4) integralning soha bo`yicha nuqtadagi hosilasi integral ostidagi funksiyaning xuddi shu nuqtadagi qiymatiga, ya`ni ga teng bo`ladi. Shunday qilib, farazimizga ko`ra (4) integral uzluksiz funksiya uchun ma`lum ma`noda “ boshlang`ich funksiya “ vazifasini bajarar ekan. Uch karrali integralni hisoblash. Bu yerda ham masala quyi karrali integrallardan tuzilgan takroriy integrallarni hisoblashga keltiriladi. Ko`rilayotgan sohada funksiya uzluksiz bo`lsin deb faraz qilaylik; bu bilan quyida uchraydigan barcha integrallarning mavjudligi ta`minlanadi. Dastavval, funksiya integrallanayotgan jism to`g`ri parallelepiped dan iborat bo`lgan holni ko`raylik. Bu parallelepipedning teksligiga proeksiyasi to`g`ri to`rtburchak bo`ladi. U holda, avvalo, (5) ga ega bo`lamiz. Bu yerdagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib, uch karrali integralni hisoblashni, uzil-kesil, ketma-ket uchta oddiy integralni hisoblashga keltiramiz: . (6) Aksincha, birinchi ikkita integralni ikki karrali integralga birlashtirsak, (7) deb yoza olamiz; bu yerda O`z-o`zidan ravshanki, yuqoridagi munosabatlarning hammasida larning rollarini almashtirish mumkin. Endi uch karrali integral to`g`ri parallelepipeddan farqli jism bo`yicha olinayatgan bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu jism va tekisliklar orasida joylashgan va ning tayinlangan qiymatiga mos kelib, tekisliklarga parallel har bir tekislik bilan yuzaga ega bo`lgan biror shakl bo`ylab kesishgan deylik; bilan uning tekisligiga proeksiyasini belgilaylik. U holda (5a) Bu – (5) formulaning o`xshatmasidir. Endi jism quyidan va yuqoridan mos ravishda va sirtlar bilan chegaralangan “ silindirik g`o`lacha “ bo`lsin. Bu sirtlarning tekisligiga bo`lgan proeksiyalari nol yuzli egri chiziq bilan chegaralangan biror shakl bo`lsin. Yon tomondan jismni yasovchilari o`qiga parallel bo`lgan hamda yo`naltiruvchisi egri chiziq bo`lgan silindirik sirt bilan chegaralangan desak, u holda (7) formulaga o`xshash bo`lgan (7a) formulani hosil qilamiz. Agar soha ikkita va egri chiziqlar va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo`lsa, u holda jism yuqoridagi ko`rilgan ikkala holga ham mos keladi: yo (5a) dagi, yoki (7a) dagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib, (6a) formulani иosil qilamiz. Bu (6) formulani umumlashgan holidir. Yuqorida kп`rilgan eng soda holdagidek, bu yerda ham olingan formulalar bilбn birga larning o`rinlarini almashtirishdan hosil bo`ladigan ularga o`xshash formulalar ham o`rinlidir. Misollar. 1) va tekisliklar bilan chegaralangan tetraydr bo`yicha olingan integral hisoblansin. Yechish. Bu jisimning tekisligiga proeksiyasi va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakdir. Ravshanki, ning o`zgarish oralig`i dan ga qadar, shu oraliqdagi o`zgarmas bo`lganda esa, o`zgaruvchi dan ga qadar o`zgaradi. Agar ham, ham tayinlangan bo`lsa, nuqta vertical bo`ylab tekislikdan tekislikka qadar harakatlana oladi; shunday qilib, ning o`zgarish chegaralari va bo`ladi. (6a) formulaga ko`ra: . Ichki integraldan boshlab, integrallarni ketma – ket hisoblaymiz: va, nihoyat, 2) Dirixle integrali shartlar ostida hisoblansin. (5a) ko`rinishdagi formulada bo`yicha integrallash o`rniga bo`yicha integrallash qo`yib, bu misolga qo`llansak, ni hosil qilamiz. almashtirish o`tkazib, ikki karrali integralni (*) integralga keltiramiz; Bundan (*) dan olingan natijaga o`xshash ifodani hosil qilamiz. Aslida,bu munosabat umumiyroq shartlarda ham, aniqrog`i bo`lganda ham o`rinlidir. Ammo integral ostidagi funksiya cheksizlikka aylanganida (bu, masalan, bo`lganida tekislikda ro`y beradi) integral “ xosmas ” integral bo`lib qoladi va qo`shimcha ravishda limitga o`tish zaruriyati tug`iladi. Download 0.5 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling