Parametrga bog’liq integrallarning uzluksizligi va hosilalarini topishga oid misollar. Parametrga bog`lik xos integrallarni hisoblash

Parametrga bog’liq integrallarning uzluksizligi va hosilalarini topishga oid misollar.Parametrga bog`lik xos integrallarni hisoblash.

Integrallanish chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar yoki chegaralanmagan funksiyalardan olingan integrallar xosmas integrallar deyiladi .

oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyadan olingan integral

Tenglik bilan aniqlanadi.
Agar shu limit mavjud bo’lib , chekli bo’lsa , xosmas integral yaqinlashuvchi , aks holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar funksiya ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda:

Quyidagi integrallar ham shunga o’xshash aniqlanadi:


1-misol. xosmas integralni hisoblang (bunda o’zgarmas musbat son).
Yechish. Ta’rifga ko’ra :


Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi .
2-misol. ning qanday qiymatlarida

Integral yaqinlashuvchi , qanday qiymatlarida uzoqlashuvchi ekanini aniqlang.
Yechish. deb faraz qilamiz, u holda :

Demak, berilgan integral uzoqlashuvchi . Endi deb faraz qilamiz, u holda :


Demak, da

Ya’ni berilgan integral yaqinlashuvchi , da esa ya’ni berilgan integral uzoqlsashuvchi. Shunday qilib, xosmas integral da yaqinlashuvchi va da uzoqlashuvchi.
2-misoldagi integral integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini taqqoslash alomatlaridan foydalanishda qo’llaniladi.
1. Agar f(x) va funksiyalar barcha lar uchun aniqlangan va da integrallanuvchi hmda barcha lar uchun bo’lsa, u holda
a) integralning yaqinlashuvchanligidan integralning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi, shu bilan birga

b) integralning uzoqlashuvchanligidan integralning uzoqlashuvchi ekani kelib chiqadi.
2. Agar funksiya barcha x lar uchun aniqlangan va integral yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda integral ham yaqinlashadi; bu holda u absolyut yaqinlashuvchi integral deyiladi, bunda

3. Agar integral yaqinlashuvchi uzoqlashuvchi bo’lsa , u holda integralni shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
3-misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. va integral yaqinlashuvchi bo’lgani uchun berilgan integral ham yaqinlashuvchi (taqqoslash alomati asosida).
4-misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. integral yaqinlashuvchi bo’lgani sababli berilgan integral yaqinlashuvchi .
5-misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. integral uzoqlashuvchi shunga ko’ra, shunga ko’ra integral uzoqlashuvchi.
oraliqda uzluksiz, b nuqtada uzilishga ega funksiyadan olingan xosmas integral

Tenglik bilan aniqlanadi.
Agar bu limit mavjud bo’lib , u chekli bo’lsa xosmas integral yaqinlashuvchi aks holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa , u holda

Bunda
Agar funksiya a nuqtada yoki oraliqning biror ichki c nuqtasida uzilishga ega bo’lsa ham integral yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi:

Va

6-misol. xosmas integralni hisoblang:
Yechish. Integral ostidagi funksiya nuqtada uzilishga ega.
Demak, ta’rifga ko’ra,


Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi .
7-misol. xosmas integralning yaqinlashish va uzoqlashish shartlarini toping.
Yechish. Integral ostidagi funksiya nuqtada uzilishga ega. Agar , u holda ushbuga egamiz:

Ya’ni integral uzoqlashuvchi.
Agar bo’lsa , u holda :

Demak, da quyidagilarga egamiz: ya’ni integral yaqinlashuvchi , , ya’ni integral uzoqlashuvchi.
Shunday qilib , xosmas integral da yaqinlashuvchi , da uzoqlashuvchi .
Oxirgi misol natijasidan taqqoslash alomatlarida foydalaniladi:
1. Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan hamda kesmada integrallanuvchi va agar bo’lsa , u holda:
a) integralning yaqinlashuvchanligidan integralning yaqinlashuvchanligi kelib chiqadi, bunda ;
b) integralning uzoqlashuvchanligidan integralning uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
2. Agar funksiya oraliqda aniqlangan va kesmada integrallanuvchi bo’lsa, integralning yaqinlashuvchanligidan integralning yaqinlashuvchanligi kelib chiqadi. Bu holda integral absolyut yaqinlashuvchi integral deyiladi.
3. Agar integral yaqinlashuvchi , integral uzoqlashuvchi bo’lsa , u holda integral shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.