Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar


Download 222 Kb.
bet1/6
Sana18.06.2023
Hajmi222 Kb.
#1555358
  1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar




Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar. Dastlab hadlarining ishoralari turlicha bo‘lgan sonli qatorlarning maxsus bir holini ko‘rib chiqamiz.
1-TA’RIF: Barcha hadlari musbat bo‘lgan u1, u2 , ∙ ∙ ∙, un , ∙ ∙ ∙ sonli ketma-kеtlikdan tuzilgan
(1)
ko‘rinishdagi qator ishorasi navbatlashuvchi qator dеb ataladi.
Masalan,
, (2)
, (3)
(4)
ishorasi navbatlanuvchi qatorlar bo‘ladi. Bunday qatorlar yaqinlashuvini quyidagi teorema yordamida tekshirish mumkin.
1-TEOREMA (Leybnits alomati): Ishorasi navbatlashuvchi (1) qatorning hadlari absolut qiymatlari bo‘yicha monoton kamayuvchi va nolga intiluvchi, ya’ni
u1 > u2 > u3 > ∙ ∙ ∙ > un > ∙ ∙ ∙ (5) va (6)
shartlarni qanoatlantirsin. Unda bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S uchun 0 u1 qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: (1) qatorning dastlabki n=2m ta (m=1,2,3, ∙ ∙ ∙) hadidan hosil qilingan S2m xususiy yig‘indilar ketma-ketligini qaraymiz:
.
Teoremadagi (5) shartga asosan bu yig‘indida har bir qavs ichidagi ifoda musbatdir. Bu yerdan S2m>0 va monoton o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi S2m xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
.
Bunda, (5) shartga ko‘ra, har bir qavs ichidagi ifoda musbat va shu sababli S2m<u1 bo‘ladi. Shunday qilib, S2m xususiy yig‘indilar ketma-ketligi monoton o‘suvchi va yuqoridan u1 soni bilan chegaralangan. Bundan limit mavjud va 0<Su1 ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema tasdig‘i faqat n=2m hol uchun isbotlandi. Agar n=2m+1 bo‘lsa, unda teoremadagi (6) shart va oldingi natijadan foydalanib, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:
.
Demak, limit mavjud, ya’ni ishorasi navbatlanuvchi (1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 0<Su1 bo‘ladi. Teorema isboti yakunlandi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (2) va (3) ishorasi navbatlanuvchi qatorlar Leybnits alomatidagi ikkala shartni ham qanoatlantiradi va shu sababli ular yaqinlashuvchi bo‘lib, ularning yig‘indilari u1=1 sonidan katta bo‘lmaydi. Kelgusida [§5, (22) ga qarang] (2) qator yig‘indisi S=ln2 , (3) qator yig‘indisi esa [§6, (7) ga qarang] S=π/4 ekanligini ko‘ramiz. Ishorasi navbatlanuvchi (4) qator uchun Leybnits alomatining (6) sharti bajariladi, ammo bu qator hadlari monoton kamayuvchi emas, ya’ni (5) shart bajarilmaydi. Shu sababli bu qator uchun Leybnits alomatini qo‘llab bo‘lmaydi. Bu qatorni tekshirish uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
.
Bu yerdan ko‘rinadiki (4) qator uzoqlashuvchi, chunki u garmonik qatorni ikkiga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan.

Download 222 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling