Itimallar teoriyası Joba

Itimallar teoriyası


Joba:
1. Chebishev teńsizligi
2. Úlken sanlar nızamı Chebishev hám Bernulli teoremalari
3. Oraylıq limit teorema

Itimallar teoriyasınıń limit teoremalari dep atalıwshi qatar tastıyıq hám teoremalarni keltiremiz. Olar jetkiliklishe úlken sandaǵı tájiriybelerde t. m. lar arasındaǵı baylanısıwdı ańlatadı. Limit teoremalar shártli túrde eki gruppaǵa bólinedi. Birinshi gruppa teoremalar úlken sanlar nızamları (KSQ) dep ataladı. Olar orta bahanıń turaqlılıǵın ańlatadı : jetkiliklishe úlken sandaǵı tájiriybelerde t. m. larning orta ma`nisi tosınarlılıǵın joǵatadı. Ekinshi gruppa teoremalar oraylıq limit teoremalar (MLT) dep ataladı. Jetkiliklishe úlken sandaǵı tájiriybelerde t. m. lar jıyındısınıń bólistiriwi normal bólistiriwge umtılıwı shártini ańlatadı. KSQ ni keltiriwden aldın járdemshi teńliklerdi tastıyıqlaymız.

Chebishev teńsizligi

Teorema (Chebishev). Eger X t. m. DX dispersiyaga iye bolsa, ol halda ushın tómendegi teńsizlik orınlı0:

(5.1.1)

(5.1.1) Teńsizlik Chebishev teńsizligi dep ataladı.

Tastıyıqı. itimallıq X t. m. dıń aralıqqa túspewligi itimallıǵın ańlatadı bul jerde. Ol halda





,

Sebebi integrallaw salasın kóriniste jazıw múmkin. Bul mannan ekenligi kelip shıǵadı. Eger integrallaw tarawı keńeytirilse, oń funksiyanıń integralı tek úlkenlashishini esapqa alsaq, . ■

Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:

(5.1.2)

Chebishev teńsizligi ihtiyoriy t. m. lar ushın orınlı. Atap aytqanda, X t. m. bınamial nızam boyınsha bólistirilgen bolsın, . U holda va (5.1.1) dan

; (5.1.3)

N ta baylanıslısız tájiriybelerde itimallıǵı , dispersiyasi Bolǵan hádiysediń chastotası ushın,

. (5.1.4)

X t. m. ni aralıqǵa tushushi itimallıǵın bahalawdı Markov teńsizligi beredi.

Teorema (Markov). Teris bolmaǵan, matematikalıq kutilmasi MX chekli bolǵan X t. m. ushın de
(5.1.5)

Teńsizlik orınlı.

Tastıyıqı. Tómendegi munasábetler orınlı bolıp tabıladı:
. ■
(5.1.5) Teńsizlikten (5. 1. 1) ni ańsatǵana keltirip shıǵarıw múmkin.
(5. 1. 5) teńsizlikti tómendegi kóriniste de jazıw múmkin: . (5.1.6)

1.-mısal. X diskret t. m. dıń bólistiriw nızamı berilgen:

Chebishev teńsizliginen paydalanıp, Itimallıqtı bahalaymiz. X t. m. dıń sanlı xarakteristikaların esaplaymiz: ; .
Chebishev teńsizligine kóre:

Úlken sanlar nızamı Chebishev hám Bernulli teoremalari

Itimallar teoriyası jáne onıń nátiyjeni ámelde qollanıwlarında kóbinese jetkiliklishe úlken sandaǵı t. m. lar jıyındısı menen jumıs kóriwge tuwrı keledi. Jıyındı daǵı hár bir t. m. dıń tájiriybe nátiyjesinde qanday bahanı qabıllawın aldınan aytıp bolmaydı. Sol sebepli úlken sandaǵı t. m. lar jıyındısınıń bólistiriw nızamın esaplaw burmuncha qıyınshılıq tuwdıradı. Lekin málim shártler astında jetkiliklishe úlken sandaǵı t. m. lar jıyındısı tosınarlılıq xarakterin joǵatıp barar eken. Ámeliyatda júdá kóp tosınarlı sebeplerdiń birgeliktegi tásiri kútilmegen jaǵdayǵa derlik baylanıslı bolmaytuǵın nátiyjege alıp keletuǵın shártlerdi biliw júdá zárúrli bolıp tabıladı. Bul shártler “Úlken sanlar nızamı” dep atalıwshı teoremalarda keltiriledi. Bular qatarına Chebishev hám Bernulli teoremalari kiredi.

 t. m. lar ózgermeytuǵın san A ga itimallıq boyınsha jaqınlasadı dep ataladı, eger ushın
munasábet orınlı bolsa. Itimallıq boyınsha jaqınlasıw sıyaqlı belgilenedi.
 t. m. lar izbe-izligi uyqas túrde matematikalıq kutilmalarga iye bolıp, san ushın de

Munasábet atqarılsa, t. m. lar izbe-izligi úlken sanlar qaniniga boysunadı deyiladi.

Teorema (Chebishev). Eger baylanıslısız t. m. lar izbe-izligi ushın sonday bolıp teńsizlikler orınlı bolsa, ol halda ushın
(5.2.1)

Munasábet orınlı boladı.

Tastıyıqı. bolǵanı ushın . U holda Chebishev tengsizligiga ko‘ra:


. (5.2.2)

Endi de limitga ótsek, . ■

Nátiyje. Eger baylanıslısız hám birdey bólistirilgen t. m. lar hám bolsa, ol halda ushın tómendegi munasábet orınlı . (5.2.3)

Bernulli teoremasi úlken sanlar nızamınig ápiwayı forması esaplanadı. Ol salıstırmalı chastotanıń turaqlılıǵın tiykarlaydı.

Teorema (Bernulli). Eger A hádiysediń bir tájiriybede júz beriwi itimallıǵı p bolıp, n ta baylanıslısız tájiriybede bul hádiyse ret júz bersa, ol halda ushın
(5.2.4)

Munasábet orınlı. Isboti. Indikator t. m. larni tómendegishe kiritemiz: eger i-tájiriybede A hádiyse júz bersa,; eger júz bermasa. Ol halda ni tómendegi kóriniste jazıw múmkin: . T. m. dıń bólistiriw nızamı qálegen i de: bo‘ladi. T. m. dıń matematikalıq kutilmasi Ga, dispersiyasi . T. m. lar baylanıslısız hám olardıń dispersiyalari shegaralanǵan, U Halda Chebishev teoremasiga tiykarlanıp: va ; Bolǵanı ushın . ■

Oraylıq limit teorema

Oraylıq limit teorema t. m. lar jıyındısı bólistiriwi jáne onıń limiti - normal bólistiriw arasındaǵı baylanısıwdı ańlatadı. Birdey bólistirilgen t. m. lar ushın oraylıq limit teoremani keltiremiz.

Teorema. baylanıslısız, birdey bólistirilgen, chekli matematikalıq kutilma hám dispersiyaga iye bolsın, u holda T. m. dıń bólistiriw nızamı de standart normal bólistiriwge ıntıladı
. (5.3.1)

Demek, (5.3.1) Ga kóre jetkiliklishe úlken n larda, jıyındı bolsa tómendegi normal nızam boyınsha bólistirilgen Boladı: . Bu holda t.m. asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.

Eger X t. m. ushın bolsa X t. m. oraylastırılǵan hám normallastırılgan (yamasa standart ) t. m. dep ataladı. (5. 3. 1) formula járdeminde jetkiliklishe úlken n larda t. m. lar jıyındısı menen baylanıslı hádiyseler itimallıǵın esaplaw múmkin. t. m. ni standartlastırsaq, jetkiliklishe úlken n larda



yoki
. (5.3.2)

5. 2-mısal. baylanıslısız t. m. lar [0, 1] aralıqta tegis bólistirilgen bolsa, t. m. dıń bólistiriw nızamın tabıń hám itimallıqtı esaplań.

Oraylıq limit teorema shártleri orınlanǵanlıǵı ushın, Y t. m. dıń tıǵızlıq Funksiyası Boladı. Tegis bólistiriw matematikalıq kutilmasi hám dispersiyasi formulasınan , Boladı. Ol halda
, shuning uchun, . (5.3.2) Formulaǵa kóre,