Ix-bob. Ehtimollar nazariyasi 1-§. Hodisalar fazosi, hodisalar ustuda amallar. Hodisaning ehtimoli

Chebeshev tengsizligi

Quyidagicha taqsimot bilan berilgan X tasodifiy miqdorini qaraymiz:

Tasodifiy miqdor chetlanishini absolyut qiymati jihatidan oldindan berilgan musbat sonidan kichik qiymat qabul qilish ehtimolini baholashni maqsad qilib qo’yaylik. Bu masalani Chebeshev tengsizligi yoritadi.
Teorema. tasodifiy miqdorining matematik kutishidan chetlanishini absolyut qiymati bo’yicha oldindan berilgan musbat sonidan kichik qiymat qabul qilish ehtimoli dan kichik emas.
Isbot. Quyidagi tengsizliklar va bir-biriga teskari hodisalar bo’lgani uchun ularni ehtimollari yig’indisi 1 ga teng, ya’ni

Bundan
(1)
ehtimolni hisoblab (1) ga qo’ysak, masala yechiladi. Dispersiyani hisoblash formulasida



chetlanishlari bo’lganlarini tashlab yuboramiz, u holda bo’lganlari qoladi va natijada yig’indi kamayadi, ya’ni
(*)
Bizga ma’lumki tengsizlikni ikkala tomoni musbat, shuning uchun ularni kvadratga ko’tarsak, quyidagi teng kuchli tengsizlikga ega bo’lamiz:

Yuqoridagi (*) tengsizlikda ni  ² bilan almashtirsak tengsizlik yanada kuchayadi va quyidagiga ega bo’lamiz:
(2)
Agar

ekanini hisobga olsak,

kelib chiqadi.
Bundan
(3)
(3) tengsizlikni (1) tenglikka qo’ysak, quyidagini hosil qilamiz:
.
Oxirgi tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
2. Chebeshev teoremasi. Teorema. Agar _– o’zaro bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning dispersiyalari tekis chegaralangan bo’lsin, u holda musbat soni har qancha kichik bo’lsa ham, quyidagi tengsizlikni

bajarilish ehtimoli tasodifiy miqdorlar soni ortishi bilan birga yaqinlashadi.

Isbot. Yangi tasodifiy miqdor kiritamiz
.
Bu tasodifiy miqdorni matematik kutishini topamiz:

Dispersiyasini topamiz:

ni hisobga olsak,

Bularni hisobga olib limitga o’tsak teorema isbot bo’ladi. Agar xususiy holda tasodifiy miqdorlarning matematik kutishlari o’zaro teng bo’lsa, ya’ni bo’lsa,

Bunday holda quyidagi Chebeshev teoremasini xususiy holi kelib chiqadi.