Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок
§ 5. Потенциальная энергия при изгибе пластинки
Download 1.11 Mb.
|
Документ Microsoft Word
- Bu sahifa navigatsiya:
- § 6. Пример решения задачи методом Ритца — Тимошенко
§ 5. Потенциальная энергия при изгибе пластинки
Выведем формулу для определения потенциальной энергии, накапливающейся при изгибе пластинки. Согласно принятым гипотезам (см. § 1, гл. VIII) 555 и у = у — 0, поэтому формула удельной потенциальной энергии (3.18) принимает вид Внося сюда выражения напряжений (8.6) и деформаций (8.5), получаем Прибавим и вычтем из выражения в квадратных скобках величину Подставим полученное выражение удельной потенциальной энергии в формулу (3.20). Так как прогибы пластинки являются функциями только двух переменных х и у, то в тройном интеграле можно отделить интегрирование по z: Интегэируя и вводя цилиндрическую жесткость 8.7), получаем Здесь двойной интеграл берется по всей площади срединной поверхности пластинки. Для некоторых случаев закрепления пластинки выражение потенциальной энергии (9.10) можно упростить. Возьмем интеграл от последнею слагаемого в квадратных скобках и преобразуем его следующим образом: В последнем выражении проведем интегрирование по частям: и проинтегрируем по частям. Тогда интеграл (а) примет такой вид: втором из полученных контурных интегралов интегрирование ведется вдоль контура пластинки, параллельного оси у. Таким образом, в двух рассмотренных случаях интеграл (в) приводится к виду После его подстановки в формулу потенциальной энергии (9.10) выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль и формула упрощается: Полученное выражение можно использовать для определения потенциальной энергии при изгибе пластинок любого очертания, защемленных по контуру, а прямоугольных пластинок — еще и шарнирно опертых по контуру. § 6. Пример решения задачи методом Ритца — Тимошенко где функции как показано в §8 гл. VIII, удовлетворяют всем граничным условиям шарнирного опирания пластинки — и геометрическим, и статическим. Для вычисления коэффициентов ряда akl определим потенциальную энергию системы внешних и внутренних сил (9.2). Предварительно подсчитаем оператор Лапласа над функцией wn (х, у): и подставим это выражение в формулу (9.11): Подставим этот ряд в формулу (б). Меняя порядок интегрирования и суммирования, а также вынося постоянные величины за знак интеграла, получаем Исследуем входящие сюда интегралы. Первый из них т. е. этот интеграл отличен от нуля только при k = с. В этом случае он равен Аналогично, второй интеграл Подставляя ненулевые значения интегралов в формулу (в) и учитывая, что они отличны от нуля только при значениях индексов суммирования с = k и d = l, находим Работу внешних сил при изгибе пластинки под действием поперечной нагрузки можно подсчитать по формуле (9.4). Подставим в эту формулу функцию прогибов wn (а) и учтем, что q = const: Интегрируя, получаем Подставим соотношения (г) и (д) в формулу (9.2), сохраняя в обо их рядах только члены, содержащие нечетные индексы k и I (при чет ных индексах коэффициенты Коэффициенты aki нужно выбирать так, чтобы потенциальная энергия системы имела минимум, т. е. должны выполняться условия (9.5): Отсюда находим значения постоянных коэффициентов: Подставим эти коэффициенты в уравнение прогибов (а) и вынесем за знак суммы постоянный множитель а4: Если в формуле (e) взять бесконечно большое число членов, т. е. принять п = оо, то получим решение задачи, совпадающее с точным [см. формулу (8.20)]. Рассмотрим приближенное решение, ограничиваясь одним членом ряда. Тогда из формулы (е) имеем
В квадратной пластинке, когда а — Ь, максимальный прогиб Подставляя в эту формулу выражение цилиндрической жесткости (8.7) и принимая коэффициент Пуассона v = 0,3, находим Это приближенное значение отличается от точного, равного max w = 0,0443?a4/(£7t3), всего на 2,7%. Изгибающие моменты найдем по формулам (8.8), подставляя функцию прогибов в первом приближении (ж): Максимальные изгибающие моменты также возникают в центре пластинки: В квадратной пластинке Точное значение, приводимое в справочниках, составляет max М — = 0,0479?а2. Следовательно, максимальный изгибающий момент для квадратной пластинки, подсчитанный в первом приближении, отличается от точного значения на 11,7%. Поэтому при вычислении изгибающих моментов в рассматриваемой пластинке следует брать еще несколько членов ряда (е). Еще менее точный результат получается при вычислении в первом приближении поперечных сил. Download 1.11 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling