Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок
§ 7. Пример решения задачи методом Бубнова — Галеркина
Download 1.11 Mb.
|
Документ Microsoft Word
§ 7. Пример решения задачи методом Бубнова — Галеркина
Для иллюстрации метода Бубнова—Галеркина рассмотрим изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка. Направление координатных осей показано на рис.73. Из характера закрепления пластинки вытекают следующие граничные условия. На гранях пластинки ОБ и АС На гранях ОА и ВС Чтобы удовлетворить этим условиям, приближенное выражение функции прогибов можно принять в виде ряда где функция каждого его члена удовлетворяет всем граничным условиям. Так, на грани ОВ и тоже wn = 0. Точно так же выполняются условия (б) для прогибов на гранях ОА и ВС. Для проверки граничных условий в отношении углов поворота на контуре пластинки вычисляем производные от функции прогибов На грани OB и, следовательно, производная ^ = 0. Точно так же на грани АС и производная = 0. Аналогично, на гранях ОА и BC обращается в нуль производная Таким образом, функция прогибов (в) удовлетворяет всем граничным условиям (а) и (б). Для отыскания неопределенных параметров aki нужно составить систему уравнений Бубнова—Галеркина (9.7). В первом приближении ограничимся одним членом ряда (в): Тогда функция Фkl, для этого члена ряда будет Подставляя соотношения (г) и (д) в уравнения (9.7), получаем После преобразования приходим к сумме произведений интегралов: Интегрируя, получаем или после упрощения Внося полученное значение а11 в формулу (г), находим функцию прогибов в первом приближении: Максимальный прогиб возникает в центре пластинки (при д* --- а. 2, и у — 6/2). Для квадратной пластинки при и коэффициенте Пуассона v = 0.3 получаем следующее значение максимального прогиба: Точное значение максимального прогиба квадратной пластинки, защемленной по контуру и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, Таким образом, максимальный прогиб, полученный в первом приближении, отличается от точного значения менее чем на 1,5%. При вычислении изгибающих моментов и поперечных сил ряды сходятся значительно хуже. Download 1.11 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling