Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

ГЛАВА IX
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИНОК
§ 1, Сущность вариационных методов решения дифференциальных уравнений
Для приведения основного дифференциального уравнения изги­ба пластинки (8.16) к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов wn (ж, у) можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов:

где ф (х, у) — линейно независимые функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи; a_k1—постоянные параметры, подле­жащие определению.
Из различных вариационных методов рассмотрим два: метод Ритца - Тишшенко и метод Вубнова—Галеркина.
§ 2. Метод Ритца — Тимошенко
Метод.
Рассматривая отдельно действие внешних и внутренних сил, прин­цип возможных перемещений можно представить следующим образом:

где 6_А — работа внешних сил (объемных и поверхностных) на каком- либо возможном перемещении; 6U — работа внутренних сил, пред­ставляющая собой приращение потенциальной энергии на том же воз* можном перемещении с обратным знаком.
Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил V и Z равны соответственно Ydxdydzbv, Zdxdydz&w.
Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V, равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, со­вершаемых каждой из составляющих:

Работа, производимая поверхностными силами, действующими по всей поверхности тела s, равна интегралу по этой поверхности от сум­мы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих по­верхностных сил:

Таким образом, работа всех внешних сил на возможных перемеще­ниях равна сумме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:

При вычислении возможной работы внешних сил варьировались только перемещения и, v и w, а объемные и поверхностные силы оста­вались постоянными, поэтому оператор б в формуле (г) можно вынести за знаки интегралов и за скобки:

Приращение потенциальной энергии 6U подсчитывается согласно интегралу (3.20):

где W — удельная потенциальная энергия, определяемая по форму­ле (3.18).
Полагая в формуле (а) оператор б общим для обоих слагаемых, получаем

:

Вводя это обозначение в условие (ж), получаем

Приращение функции б с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равно ее первому дифференциалу, поэтому вместо условия (з) можно написать

а это означает, что потенциальная энергия системы 3 имеет экстре­мальное значение.
Таким образом, потенциальная энергия системы (9.2)

где потенциальная энергия, накапливаемая в упругом теле, определя­ется по формуле (3.21), а работа объемных и поверхностных сил со­гласно формуле (д) составляет

При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из со­ставляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна: Z_v = q. Подставляя это значение в формулу (и) и принимая элемент поверх­ности d_s в виде прямоугольника со сторонами dx и dу, получаем выра­жение работы внешних сил при изгибе пластинки:

Если приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (9.1), то после подстановки этого значения в формулу (9.3) по­тенциальная энергия системы окажется функцией параметров a_k1:

Чтобы найти значения параметров c_k1, соответствующие миниму­му потенциальной энергии системы, нужно приравнять нулю частные производные:

Производная квадратичной функции параметров оказывается ли­нейной функцией этих параметров, поэтому условие (9.5) представ­ляет собой систему п² линейных уравнений относительно параметров
. Рассматривая уравнение (з) в форме

внесем в него выражения потенциальной энергии (3.20) и (3.16), воз­можную работу всех внешних сил (г) к учтем, что

В результате получим

Обратимся в уравнении (л) к первому из тройных интегралов и про­изведем интегрирование по переменной х. Интегрируя по частям, на­ходим

Первый интеграл в правой части равенства (м) является поверх­ностным интегралом второго типа. Его можно преобразовать в по­верхностный интеграл первого типа по известной из курса математи­ческого анализа формуле

Здесь функции P = P (x, y, z), Q = Q (x, у, z), R (x, y, z) долж­
ны быть непрерывными вместе с первыми частными производными внутри объема V, ограниченного поверхностью s; l, m, n — направ­ляющие косинусы нормали к этой поверхности.
Используя преобразование (н), вместо формулы (м) получаем

Аналогично преобразуются и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (л). После преобразования и группировки по составляющим возможных перемещений вместо уравнения (л) получаем

Итак, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца—Тимо­шенко состоит в следующем. Принимаем приближенное значение функции прогибов w (х, у) в форме двойного ряда