1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
Под фигурой Ω будем понимать ограниченное замкнутое тело с вкл. гран. Множ. Диаметр d фигурыΩ будем называть максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры . Для эллипса – большая ось. Под мерой ω для плоской фигуры и поверхности будем понимать площадь S, для линии – длину линии, для пространственного тела объём.
Определённый интеграл по фигуре Ω от заданной на ней функции f(p) называется предел n-интегральной суммы, когда . В случае когда фигура плоск. обл.Д, интеграл называется двойным.
2 Масса фигуры переменной плотности
. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
,
если подынтегральная функция  ,  , задает
плотность  линейная  распределения поверхностная ( )
массы по  объемная ( )
в зависимости от размерности фигуры,  ,  , 
на  .

3 Геометрический смысл ДИ (двойного интеграла)
Вычислим V цилиндрического тела. Сверху ограниченного поверхностью z=f(x,y) проекция поверхности на плоскость xoy =>область Д и цилиндр. образующ. кот. // oz
Р азобьем область Д на n-цилиндрических тел основаниями которых будут элементы области ∆ . Возьмём произвольную точку в области ∆ и h-z=f ( ), тогда ∆ =f( )* ∆ , a V ≈ =>
V=
Двойной интеграл – V цилиндрического тела с основанием Д ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)
Замечания: 1. Если объём ограниченный сверху z=f(x,y), снизу z=f1(x,y), то V=
2. Если f(x,y)≤0 неопред. в области Д, то ДИ от этой функции = V цилиндрического тела взятому со знаком «-»
4 Геометрический смысл Кр И -1

1. Дугу кривой  или  в пространстве XOYZ разбиваем на nмалых частей точками M0=A, M1,…,Mn=B; обозначаем длины хорд  , (Рис. 13)

2. Вычисляем значения функции f (x,y,z) в произвольно выбираемых точках  на i-той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд Δl_i: , 
3. Составляем интегральную сумму

и вычисляем её предел при λ → 0, где  – это ранг разбиения.
4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек  , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции