1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

Пример 3. Вычислить статический момент фигуры, ограниченной линиями  относительно оси ОХ.
Решение. Кривые  пересекаются в точках (0;0) и (1;1). На отрезке x [0,1] выполняется неравенство  , поэтому
.
14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
ентр тяжести фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты
,
где  – статические моменты фигуры относительно осей координат; S – площадь фигуры.
Пример 5. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t – sint), y = a(1 – cost),  , a > 0 и осью ОХ.
Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:

;

;
.
Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты центра тяжести:
.

15 Вычисление моментов инерции фигуры
Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:
,
здесь  есть квадрат расстояния точки  ,  , до 
соответствующего объекта. Например, если  или  ,  – плотность распределения массы по фигуре  , то
, ,  –
моменты инерции материальной фигуры  относительно соответствующей координатной плоскости;
, ,  –
моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;
– момент инерции материальной 
фигуры  относительно начала координат.
16 Кр И-2, определение, вычисление, свойства, связь с Кр И-1, физический смысл
Если существует конечный предел при  интегральной суммы  , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. 
   Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).
   

2 При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: