1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz(рис. 2.19).
При этом

Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

Следовательно, 
Тогда тройной интеграл примет вид:

11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Рассмотрим сферическую систему координатОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞
Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

с помощью которых получим Якобиан преобразования:

Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:


12 Вычисление ПИ-1
Поверхностный интеграл первого рода от функции  по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные  и  равны

а  означает векторное произведение. Вектор  перпендикулярен поверхности в точке  . 

Абсолютное значение  называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).

13 Вычисление статических моментов фигуры
статические моменты фигуры на плоскости. Пусть в декартовой системе координат на плоскости задана фигура, ограниченная кривыми  , x = a, x = b  и для x  [a; b]  .
Если плотность постоянна ( = 1), то статические моменты фигуры относительно осей координат выражаются формулами:
;
.