1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

38 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда
24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Например, ряд сходится по признаку Лейбница но ряд из абсолютных величин его членов расходится.
О: Знакопеременный ч.р. называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд и условно сходящимся, если он сходится, хотя ряд расходится.
Например,  — абсолютно сходящийся ряд, — условно сходящийся ряд.

39 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
U1-U2+….+(-1)^n+1 * Un Ui>0 i=123n
Если члены ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>…>Un> И общий член ряда стремиться к нулю (n→∞)LimUn=0, то ряд сходится ДОК-ВО Запишем частичную сумму частного числа членов в таком виде:
S2n>0 S2n=(U1-U2)+(U3-U4)+..+(U2n-1 – U2n) каждая скобка положительная по условию. И с увеличением n сумма возрастает. S2n= U1-(U2 – U3)+…+(U2n-2 - U2n-1) – U2n < U1 S2nС другой стороны частичная сумма четногочисла членов ограниченна . S2n S2n=S рассм сумму нечет числа членов S2n+1= S2n+U2n + 1 перейдем к пределу. (n→∞)Lim S2n+1= (n→∞)LimS2n+ (n→∞)LimГ2n+1+S+0=S=>этот ряд сходится Следствие При замене знакочередующегося ряда его отрезком пгорешность замены по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена по абсолютной величине. S=Sn+rN
S-Sn=rn S-Sn=Un+1(-1)^n+2+ + 
gecnmUn+1-(Un+2-Un+3+….)
|S-Sn|=|rn| < Un+1