1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

45 Свойства степенных рядов
Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов.
1.Сумма   степенного ряда

(2)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости   .
2.Ряд

,

(4)

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости   . Сумма ряда (4)   .
Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна  , и так далее. Таким образом, сумма   ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости   . Сумма ряда полученного из ряда (2)   – кратным дифференцированием, равна  . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.
3. Пусть числа   и   принадлежат интервалу сходимости   ряда (2). Тогда имеет место равенство

(5)

Формула трапеций Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволи нейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

46 Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора
Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z₀∈ D. Обозначим L окружность с центром в z₀, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,  . Представим множитель  в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:  (так как | z – z₀| < | t – z₀| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:  , так как  . Итак, . 
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана