1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z₀ ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z –z₀)ⁿ. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z₀| < r, где r - расстояние от z₀ до границы области D (до ближайшей к z₀ точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно. 
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции. 
47 Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Рассмотрим задачу, обратную поставленной в разд. 30.4. Пусть функция бесконечно дифференцируема в т. Составим для
нее ряд Тейлора. Его сумма не всегда будет совпадать с функцией  Например, функция бесконечно дифференцируема при х = 0, причем поэтому для нее ряд
Маклорена Его сумма при х 0. Выясним, при каких условиях
О: Многочленом Тейлора степени п называется частичная сумма

Остаточным членом ряда Тейлора называется
(30.8)
Т: Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в т. функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора (30.6), необходимо и достаточно, чтобы
Используя определение сходящегося ряда и выражение (30.8), имеем следующую цепочку:  — сумма (30.6)

Приведем запись остаточного члена в форме Лагранжа [4. С. 168]:
(30.9) где находится между и х.

48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций



(1+x)^m=1+ + + +
+…+ .