1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

32 Свойства сходящихся числовых рядов
1°. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.
Рассмотрим и Пусть
тогда
(29.1)
Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и ряд сходится
2°. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд
с = const, сходится и имеет сумму cS.
Пусть тогда

3°. Если ряды сходятся и имеют суммы  соответственно, то ряд сходится и имеет сумму
Пусть
тогда



33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если ряд  сходится, то  .
Данный признак означает, что если  , то ряд расходится. Например,  расходится, так как  . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда  . Например, для ряда  (гармонический ряд), условие  выполнено, но данный ряд расходится.
Ряд u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n + ... может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю:


Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.


34 Признаки сравнения числовых рядов
Теорема: (признак сравнения) Если сущ-ет номер n0,такой, что для любого n>=n0 0<=an<=bn(1), то 1. из сходимости =>сходимость 2. из расходимости => расходимость Док-во: Пусть n0=1, тогда 1. Sn= - n-ная частичная сумма ряда an. /S\n= - n-ная частичная сумма ряда bn. Из (1) => Sn<=/S\n для любого n т.к. bn- сходится, то {/S\n} – сходится => посл-ть ограниченна => ограниченна {Sn} и значит что пос-ть сходится, значит - сходится. 2. Пусть - расходится => {Sn} – неограниченна => {/S\n}- неогр. => - расх. Пусть n0>1 тогда д.р. и - т.к. отбрасывание конечного числа элементов ряда не влияет на сходимость . Предельный признак сравнения: Теорема: Если an>0, bn>0, для любого n>n0 и сущ-ет конечный предел an/bn ≠0, то ряды и - сходятся или расходятся одновременно. Док-во: Пусть liman/bn=L для любого ε>0 сущ-ет n_ε т.ч. для любого n>n_ε |an/bn-L|<ε; L-ε0 => (L-ε)bn<an<(L+ε)bn если - сходится, то (L+ε) – сходится, и из === по признаку сравнения следует, что - сходится, если - расходится, то (L-ε) - расх, то из -------- следует - расходится.