1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

f (x, y, z) по линии l:



5 Свойства определённого интеграла по фигуре
пусть функция f(p)  непрерывна на фигуре Ф т.е. ОИ по фигуре Ф существует, тогда выполняются следующие свойства:
1. f1(p)∓f2pdw= f1pdw∓ f2pdw
2. kf(p)dw=k f(p)dw 
3. если фигуру Ф  разбить на конечное число частей, то интеграл равен сумме частей интегралов.
4. если  dw=w  ,
то  dl=l ,   ds=s,d σ=σ, dv=v
5.  если f1(p), то   f1pdw< f2pdw
6. /f(p)dw/≤ /f(p)/dw 
7. оценка интеграла по фигуре. Если m и M наибольшее и наименьшее значение функции f(p) на фигуре Ф, то mw≤ f(p)dw≤Mw
8. (о среднем значении) если функция f(p) непрерывна на Ф с
мерой w, то найдется точка Р∈Ф, то  f(p)dw= (Po)w


6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
волинейный интеграл легко сводится к определенному интегралу. Примем за параметр длину дуги отсчитываемую от точки А по кривой получим параметрическое представление кривой где —
длина дуги Пусть в (25.3) промежуточным точкам
соответствует т.е. Тогда

Последняя сумма является интегральной для определения интеграла т.е.
(25.4)
Эта формула доказывает существование криволинейного интеграла 1 рода от функции (х,у), непрерывной в D, если D — непрерывная кусочно-гладкая кривая.
Рассмотрим формулы для вычислений криволинейного интеграла в следующих случаях:
а) х = x(t), у = y{t), где x{t) и y{t) непрерывно
дифференцируемы на тогда (см. разд. 18.3)

т.е. из (25.4) имеем

Формула может быть обобщена на пространственный случай, т.е. если х = x(t), у = y(t), z = z(t), непрерыв-
на в D, В, тогда

Аналогично записывается формула для большего числа переменных.