Жойлаш ган катор шаклида излаймиз: и(х) = (ро (х) + Я

Фредгольм тенгламасини такрибий ечиш. Бу методда

и(х) = f ( x ) + X jK(x,s)u(s)ds (7.1)

интеграл тенгламанинг ечим ини Я нинг даражаларига нисбатан

жойлаш ган катор шаклида излаймиз:

и(х) = (ро (х) + Я <р, (х) + Я:ф2 (х) +... (7.2)

Бу к.аторни (7.1) тенгламага куйиб

<р„(х) + Я<р,(х) + Я <р2(х) +... =

/ ( х ) + я | :( ,5 )[ 0(5 )+ <(£)| со+ 2

Я нинг бир хил даражалари олдидаги коэф ф ициентларни тенг

лаш тирсак, натижада куйидагиларга эга буламиз:

%(х) = /( х ) ,

h

(pt(x)= jK(xf)(p0(s)ds, (7 3)

a

h

(p2 (x) = jK(x^)(p](s)ds.

Агар такрорланган узак деб аталувчи уш бу

K,(x,s)= K(x,s),

b

K2(x,s)= ^K(x,t)K\ (t,s)dt,

a

b

K-S(x,s) = j K(x,t)K2(t,s)dl

функцияларни киритсак, у \о л д а изланаётган ^ ,(х), (р2(х),... ф унк ­

циялар учун куйидаги ифодаларга эга буламиз:

(p0(x) = f(x), <рп(х ) = ]K„(xj)f(s)ds (я = 1,2,...).

Энди (7.2) к,аторни куйидагича ёза оламиз:

b h

u(x) = f ( x ) + X ^ K l(x ,s )f(s )d s + k 2 ^ K 2(x ,s )f(s )d s + ... =

а а

h

= / ( х ) + я |[АГ,(х,5) + ЯА^2(х ,5) + ...] /( 5)й?5 = (7.4)

= / (х ) + Я |/? ( Х ,5 ; Я ) / (s)ds,

бунда

R (x ,s;X ) = K t(x,s) + X K 2(x,s) +... (7.5)

интеграл тенгламанинг резольвентасидир.

Ф араз к,илайлик, D = {а < х, s < Ь } сох,ада |/f(x,.s)| < ва

|/( х ) | < N булсин, у \ол да (7.3) формулалардан индукция м етоди-

га кура
\

тенгсизликлар уринли булади. Ш унинг учун хам

1^1 < ~М(Ь-а) ( 7 - 6 )

тенгсизлик бажарилганда (7.2), (7.4) ва (7.5) к,аторлар текис я^ин-

лашади. Интеграл тенгламанинг такрибий ечим и сифатида

^ д х) = Х я Ч ( х )

к=0

ни олиш мумкин, бунинг хатолиги куйидагига тенг:

00

£„=\и{х)-ип{х)\< X |Я|А|% (х)|<

к=п+1

< £ Лг[м(й-«)|я|Т . L 'I U 1-м 6- 0) яК = /7 + 1 'I I

М исол сифатида

1

u(x) = ex - je ~ x + j \e-x-’u (s)d s

интефал тенгламанинг ечимини топамиз. Бу ерда | AT(jc,^)| = e xs <

^ 1> | / ( х )| = е* ~ 2 е ' -2,6 ва Я = * булганлиги учун (7.6) як,инла-

шиш шарти бажарилади. О сонлик билан куриш мумкинки,

(р0(х) = е* ~^ е~ х,

, / о \к~х

- х 3 + e ~ z 1—е <рк( х) = е - х ^ - ^ - J (А'= 1,2,...).

Бу ифодаларни (7.2) к,аторга куйиб, аник, ечимни топамиз:

-? 00 / ' '

г/(х) = е* - V [ L ? :

2 4-2 f ^ \ 4

X 1 — X —X 1 X

= е - - е +е — = е .

2 2

Х,ар доим хам бу мисолдагидек (7.3) интеграллар аник, хисоблан-

майди. Ш унинг учун хам (7.3) интеграллар учун 12.2-§ дагидек

бирор
j0 (x )d x = Y j Ak0 ( x k)

*=>

кв.ф. ни куллашга тугри келади.

Куйидагича белгилашлар киритамиз:

K j = (ж,.,Х ]), (pni = (р„ (ж,.), / = / ( * , ) .

Ш у билан бирга ^>„(х.) нинг такрибий к,ийматини фш ва и(х.) нинг

такрибий к,ийматини у. деб белгилаймиз. У холда (7.3) формуладан

куйидагига эга буламиз:

(Ро, =/>

ва умумий холда

Бу формулаларга кура хисоблаш ни куйидаги жадвал буйича ба-

жариш мумкин:

1 2 n r f , 21 у ,

ы ,ки Ы \ Кп\ <Ро 1 Лфи Я 92, Уп

*2 ы 2к п ы 2к22 М 2К 2 ^02 Лф12 Я ф22 Уч

хп L 4 Кп пп Пп ^Фи, V h t Уш

Бу жадвал икки к,исмдан иборат. Биринчи к,исми квадрат жадвал

булиб, унинг элементларини хосил к,илиш учун К (х , 5) узак (х., х.)

нук;галарда хисобланади ва бу к,ийматЯА сонга купайтирилади. Жадвал

иккинчи ^исм ининг биринчи устуни

нук,талардаги к,ийматидан тузилган. Кейинги ( фи устун) устуннинг
2 ва хрказо элементлари куйидаги формулалар ёрдамида топи-

лад и:

хфи = Х Ч к ч Ф0],

М J-1

Кейинги Ф2. устун элементлари эса

7 = 1

ф ормулалар ёрдам ида хисобланади. Х удди шунга ухшаш яна ке­

йинги устунлар элементлари х,исобланади. Х исоблаш ж араёнини

охирги хисобланаётган устуннинг элементлари берилган аникушк-

дан кичик булгунича давом эттирам из. Бундан кейин топилган

устунларнинг элементларини сатрлар буйича кушиб, охирги устун

элементларини, яъни и (х) еч и м н и н гх. нук,тадаги ^.такрибий к,ий-

матини топамиз:

У1=(ры + Х ф и + Х 2ф2.+... (7.7)

Бу кдтор (7.6) шарт бажарилганда як,инлашади. Хакикдган х>ам, ф а­

раз кдлайлик, |<р0/| = \/\ < N булсин, у \о л д а

Т ? Л :К , (Р =1

< NM |Я| А} = N M |А|(Ь - а).

7=1

Бу ж араённи давом эттириб,

\ ф „ \ < ы [ м \ Х \ ( Ь - а ) \ П (п = 1,2,...)

батога эга буламиз. Бу бахрлардан (7.7) каторнинг як,инлашувчи-

лиги келиб чикдди.

М аш к- Ушбу

1

u(x) + 0 , 2 j x ( e xs- l }u(s)ds = 0 ,2 [ех - * + 4 )

тенгламанинг ечими £ = 10~4 аникушкда топилсин.
Fredgolьm tenglamasini takribiy yechish. Bu metodda

i(x) = f ( x ) + X jK(x,s)u(s)ds (7.1)

integral tenglamaning yechim ini Ya ning darajalariga nisbatan

joylash gan kator shaklida izlaymiz:

i(x) = (ro (x) + Ya

Bu k.atorni (7.1) tenglamaga kuyib

/ ( x ) + ya | :( ,5 )[ 0(5 )+ <(£)| so+ 2

Ya ning bir xil darajalari oldidagi koef f itsientlarni teng

lash tirsak, natijada kuyidagilarga ega bulamiz:

%(x) = /( x ) ,

h

(pt(x)= jK(xf)(p0(s)ds, (7 3)

a

h

(p2 (x) = jK(x^)(p](s)ds.

Аgar takrorlangan uzak deb ataluvchi ush bu

K,(x,s)= K(x,s),

b

K2(x,s)= ^K(x,t)K\ (t,s)dt,

a

b

K-S(x,s) = j K(x,t)K2(t,s)dl

funktsiyalarni kiritsak, u \o l d a izlanayotgan ^ ,(x), (r2(x),... f unk ­

siyalar uchun kuyidagi ifodalarga ega bulamiz:

(p0(x) = f(x),

Endi (7.2) k,atorni kuyidagicha yoza olamiz:

b h

u(x) = f ( x ) + X ^ K l(x ,s )f(s )d s + k 2 ^ K 2(x ,s )f(s )d s + ... =

a a

h

= / ( x ) + ya |[АG,(x,5) + YaА^2(x ,5) + ...] /( 5)y?5 = (7.4)

= / (x ) + Ya |/? ( X ,5 ; Ya ) / (s)ds,

bunda

R (x ,s;X ) = K t(x,s) + X K 2(x,s) +... (7.5)

integral tenglamaning rezolьventasidir.

F araz k,ilaylik, D = {a < x, s < Ь } sox,ada |/f(x,.s)| < va

|/( x ) | < N bulsin, u \ol da (7.3) formulalardan induktsiya m yetodi-

ga kura
\

tengsizliklar urinli buladi. Sh uning uchun xam

1^1 < ~M(Ь-a) ( 7 - 6 )

tengsizlik bajarilganda (7.2), (7.4) va (7.5) k,atorlar tekis ya^in-

lashadi. Integral tenglamaning takribiy yechim i sifatida

^ d x) = X ya Ch ( x )

k=0

ni olish mumkin, buning xatoligi kuyidagiga teng:

00

£„=\i{x)-ip{x)\< X |Ya|А|% (x)|<

k=p+1

< £ Lg[m(y-«)|ya|T . L 'I U 1-m 6- 0) yaK = /7 + 1 'I I

M isol sifatida

1

u(x) = ex - je ~ x + j \e-x-u (s)d s

intefal tenglamaning yechimini topamiz. Bu yerda | AT(jc,^)| = e xs <

^ 1> | / ( x )| = ye* ~ 2 ye ' -2,6 va Ya = * bulganligi uchun (7.6) yak,inla-

shish sharti bajariladi. O sonlik bilan kurish mumkinki,

(r0(x) = ye* ~^ ye~ x,

, / o \k~x

- x 3 + e ~ z 1—e

Bu ifodalarni (7.2) k,atorga kuyib, anik, yechimni topamiz:

-? 00 / ' '

g/(x) = ye* - V [ L ? :

2 4-2 f ^ \ 4

X 1 — X —X 1 X

= ye - - ye +e — = ye .

2 2

X,ar doim xam bu misoldagidek (7.3) integrallar anik, xisoblan-

maydi. Sh uning uchun xam (7.3) integrallar uchun 12.2-§ dagidek

biror
j0 (x )d x = Y j Ak0 ( x k)

*=>

kv.f. ni kullashga tugri keladi.

Kuyidagicha belgilashlar kiritamiz:

K j = (j,.,X ]), (pni = (r„ (j,.), / = / ( * , ) .

Sh u bilan birga ^>„(x.) ning takribiy k,iymatini fsh va i(x.) ning

takribiy k,iymatini u. deb belgilaymiz. U xolda (7.3) formuladan

kuyidagiga ega bulamiz:

(Ro, =/>

va umumiy xolda

Bu formulalarga kura xisoblash ni kuyidagi jadval buyicha ba-

jarish mumkin:

1 2 n r f , 21 u ,

ы ,ki Ы \ Kp\

*2 ы 2k p ы 2k22 M 2K 2 ^02 Lf12 Ya f22 Uch

xp L 4 Kp pp Pp ^Fi, V h t Ush

Bu jadval ikki k,ismdan iborat. Birinchi k,ismi kvadrat jadval

bulib, uning elementlarini xosil k,ilish uchun K (x , 5) uzak (x., x.)

nuk;galarda xisoblanadi va bu k,iymatYaА songa kupaytiriladi. Jadval

ikkinchi ^ism ining birinchi ustuni

nuk,talardagi k,iymatidan tuzilgan. Keyingi ( fi ustun) ustunning
2 va xrkazo elementlari kuyidagi formulalar yordamida topi-

lad i:

xfi = X Ch k ch F0],

M J-1

Keyingi F2. ustun elementlari esa

7 = 1

f ormulalar yordam ida xisoblanadi. X uddi shunga uxshash yana ke­

yingi ustunlar elementlari x,isoblanadi. X isoblash j arayonini

oxirgi xisoblanayotgan ustunning elementlari berilgan anikushk-

dan kichik bulgunicha davom ettiram iz. Bundan keyin topilgan

ustunlarning elementlarini satrlar buyicha kushib, oxirgi ustun

elementlarini, yaʼni i (x) yech i m n i n gx. nuk,tadagi ^.takribiy k,iy-

matini topamiz:

U1=(rы + X f i + X 2f2.+... (7.7)

Bu kdtor (7.6) shart bajarilganda yak,inlashadi. Xakikdgan x>am, f a­

raz kdlaylik, |

T ? L :K , (R =1

< NM |Ya| А} = N M |А|(Ь - a).

7=1

Bu j arayonni davom ettirib,

\ f „ \ < ы [ m \ X \ ( Ь - a ) \ P (p = 1,2,...)

batoga ega bulamiz. Bu baxrlardan (7.7) katorning yak,inlashuvchi-

ligi kelib chikddi.

M ash k- Ushbu

1

u(x) + 0 , 2 j x ( e xs- l }u(s)ds = 0 ,2 [ex - * + 4 )

tenglamaning yechimi £ = 10~4 anikushkda topilsin.