Joqari da’rejeli ten’lemeler
Download 0.67 Mb. Pdf ko'rish
|
3-4-darejeleitenlemeler (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- ko’pag’zalisin
- Qa’legen n-da’rejeli (natural) ko’pag’zali n dana sheshimge ( Eseli birinshi da’rejeli ko’pag’zali) iye.
- Egerde 𝒇(𝒙) ko’pag’zalisinin’ da’rejesi taq bolsa bul ko’pag’zali o’ldim degende bir haqiyqiy sheshimge iye.
- Umitpaw kerek!
|
1
Joqari da’rejeli ten’lemeler Sheksiz tu’rdegi misallar ha’mde sheksiz tu’rdegi paydasiz sheshimler bar. (Evklid) n-da’rejeli ko’pag’zali-ten’lemelerdin’ uliwmaliq ko’rinisi to’mendegishe: ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑘=0
= 0 𝑎 𝑛 (𝑎 𝑛 ≠ 0) − 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 𝑦𝑎𝑚𝑎𝑠𝑎 ℎ𝑎𝑞𝑖𝑦𝑞𝑖𝑦 𝑠𝑎𝑛 Joqari da’rejeli ten’lemeler ko’pag’zalili funkciyalardin’ grafik nollerin tabiwdin’ dara joli bolg’ani ushin ko’pag’zalilarg’a sa’l-pa’l toqtaymis. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎
𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2
𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎 1 𝑥 1 + 𝑎
0 Mine ko’rip turg’anin’istay bul n-da’rejeli ko’pag’zali. 𝑔(𝑥) = 𝑏
𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1
𝑥 𝑚−1
+ 𝑏 𝑚−2
𝑥 𝑚−2
+ ⋯ + 𝑏 1 𝑥 1 + 𝑏
0 Bul ese ekinshi m-da’rejeli ko’pag’zali. Kelin’ usinday sha’rt alip 𝑛 > 𝑚, 𝑓(𝑥)-ko’pag’zalisin 𝑔(𝑥)-ko’pag’zalisina qa’dimgidey bo’lip ko’remis. Bul jag’dayda bo’liw qag’iydasina muwapiq egerdeee
ko’pag’zalilardada bul qa’giyda orinli bolsa bizdin’ 𝑓(𝑥)ti 𝑔(𝑥)qa qaldiqli bo’liwimistin’ tiykarg’I tusi 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) + 𝑟(𝑥) usinday. An’lag’anin’izday 𝑟(𝑥)-biyshara qaldiq
boliwi sha’rt. Al eger 𝑛 = 𝑚 bolsa, ℎ(𝑥)=c yag’niya sang’a ten’ boladi. 𝑟(𝑥)tin’ da’rejesinde ese bayag’I sha’rt o’zgermeydi. Tu’rtip qoyatin jeri keldi. 𝒇(𝒙) ko’pag’zalisin 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝒂 ko’pag’zalisina bo’lgendegi qaldiq 𝒇(𝒙)tin’
Qiziq egerde 𝑔(𝑥) birinshi da’rejeli emes ekinshi da’rejeli ko’pag’zali bolsa ne boladi? Buni ko’rip shig’ayiq. Demek 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) + 𝑟(𝑥) muwapiq 𝑟(𝑥) da’rejesi birinshi da’rejeli boliwi sha’rt, kelin’ jaqsisi misalda ko’rip shig’ayiq. 𝑓(𝑥) = 2020𝑥 2019
+ 1010𝑥 1009
+ 𝑥 + 1 ha’m 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑓(𝑥)-ko’pag’zalisin 𝑔(𝑥)- ko’pag’zalisina bo’lgendegi qaldiqti tabin’. 2020𝑥
2019 + 1010𝑥
1010 + 𝑥 + 1 = (𝑥 2 − 1)ℎ(𝑥) + 𝑟(𝑥) (*) 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 1 = 1, 𝑥 2 = −1
Endi (*) da 𝑥 = 1 ℎ𝑎 ′ 𝑚 𝑥 = −1 lerdi tawip sistema alamis; 2
{ 3032 = 𝑟(1) −1010 = 𝑟(−1) bunda 𝑟(𝑥)tin’ birinshi da’rejeli ko’pag’zali ekenligin itibarg’a alip 𝑟(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 almastiramis, { 3032 = 𝑟(1) −1010 = 𝑟(−1)
→ { 3032 = 𝐴𝑥 + 𝐵 −1010 = 𝐴𝑥 + 𝐵
→
𝒙=𝟏
{ 3032 = 𝐴 + 𝐵 −1010 = −𝐴 + 𝐵
𝐴 = 2021
𝐵 = 1011 𝑑𝑒𝑚𝑒𝑘 𝑟(𝑥) = 2021𝑥 + 2011 Bul ko’rinisti u’shinshi yamasa odan u’lken da’rejeli ten’lemelerdede sinap ko’riwge boladi biraq en’ u’lken mashqala bul 𝑔(𝑥) ko’pqag’zalisinin’ nollerin tabiw esaplanad. Aytqanday egerde noller kompleks ko’riniste bolsada uraberin’ esaplanadi. Kelin’ uzaqlaspay turip bir misaldin’ an’satraq sheshiliw jolin ko’reyik. Demek (𝑥) = 𝑥
4 + 7𝑥
3 − 9𝑥
2 − 𝑥 + 4 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
𝑥 2 + 1 = 0 → 𝑥 = 𝑖 𝑓(𝑖) = 𝑖 4 + 7𝑖 3 − 9𝑖
2 − 𝑖 + 4 = −8𝑖 + 14 = −8𝑥 + 14 𝑑𝑒𝑚𝑒𝑘 𝑟(𝑥) = −8𝑥 + 14 Endi ese Bezu teoremasin suwitpastan turip ha’mmemiz biliwimiz sha’rt bolg’an bir teoremeanida esleteyin. Qa’legen n-da’rejeli (natural) ko’pag’zali n dana sheshimge ( Eseli birinshi da’rejeli ko’pag’zali) iye. Ja’nede qosimsha ushin: bo’linbedegi eseli birinshi da’rejeli ko’pag’zalilar qansha bolsa sonshasi sanaladi yag’iniyy bul sheshimler bir birine ten’ boliwi mu’mkin. Aytqansha egerde sheshim kompleks san bolsa bul kompleks sannin’ tu’yinleside (sheshim 2 + 4𝑖 bolsa og’an tu’yinles sheshim 2 − 4𝑖) sheshim boliwin umitpan’. Usi jerde bir na’rse esime tu’sti pu’tin koefficientli 0-da’rejede bolmag’an ko’pag’zalilardin’ grafik nolleri heshqashan transsendent sanlar u’stinen kesip o’tpeydi yag’iniy (𝑥 − 𝜋)(𝑥 − 𝑒) = 0 ko’rinisnde ma’nige iye emes. Tayarlanin’ qiziqli bir mag’luwmat. Egerde 𝒇(𝒙) ko’pag’zalisinin’ da’rejesi taq
ushinlig’in ko’reyik. Bunin’ ushin 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 2𝑛+1 𝑘=0 ko’pag’zalini oylayiq (𝑓: 𝑥 → 𝑅) bunda bilemiz 𝑓(𝑥 → +∞) → +∞ ; 𝑓(𝑥 → −∞) → −∞ yag’iniy ha’rqanday 𝑥 ushin 𝑓(𝑥) ya “+” yamasa “-“ belgini qabil etiwge ma’jbu’r (U’zliksiz funkciyalarda Araliq mug’dardin’ Bolzano teoremasi qollaniliwi), demek 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 da 𝑓(𝑎) < 0, 𝑓(𝑏) > 0 bolsin, onda sonday 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] tabiladi 𝑓(𝑥) = 0 bolatug’in. (Buni basqada Algebranin’ fundamental teoremalarinanda qollap da’lillewge boladi, biraq basqa ha’rbir da’lil usi da’lilden kelip shig’adi ha’m toltiradi) 3
Bizge 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 tu’rindegi uliwmaliq kubik ten’lemeni sheshiw tapsirilg’an bolsin. Bul ten’lemeni sheshiwdin’ ko’plep usillari bolip ishinde o’zimnin’da usilim bar )). Kelin’ endi a’detlerge sadiq qalip kubik ten’lemelerdi sheshiwdin’ a’zeliy usili bolg’an Kardano usilin ko’rip shig’ayiq. 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 | ∗ 𝟏 𝒂 𝑥 3 + 𝑏 𝑎 𝑥 2 + 𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑑 𝑎 = 0 (∗) Biz (∗) bunday halattag’i ten’lemeni tuwiridan-tuwiri Kardano arqali sheshe almaymis sebebi ayrimliq tur’de ko’pag’zali ya jup da’rejege ya taq da’rejege iyelik etiwi kerek. Demek bizde bas da’reje 3- bolg’ani ushin biz 2- da’rejeni joq etiwimiz kerek. 𝑥 3 + 𝑏 𝑎 𝑥 2 + 𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑑 𝑎 = 0 ; 𝑥 = 𝑦 − 𝑛 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (𝑦 − 𝑛) 3 + 𝑏 𝑎 (𝑦 − 𝑛) 2 + 𝑐 𝑎 (𝑦 − 𝑛) + 𝑑 𝑎
𝑦 3 − 3𝑛(𝑦 − 𝑛)𝑦 − 𝑛 3 + 𝑏 𝑎 (𝑦 2 − 2𝑛𝑦 + 𝑛 2 ) + 𝑐 𝑎 (𝑦 − 𝑛) + 𝑑 𝑎 = 0 𝑦 3 − 3𝑛 𝑦 2 + 3𝑛 2 𝑦 − 𝑛 3 + 𝑏 𝑎 𝑦 2 − 2 𝑏 𝑎 𝑛 𝑦 + 𝑏 𝑎 𝑛 2 + 𝑐 𝑎 𝑦 − 𝑐 𝑎 𝑛 + 𝑑 𝑎 = 0 Demek −3𝑛 + 𝑏 𝑎 = 0 →
𝑛 = 𝑏 3𝑎 𝑦 3 + 3( 𝑏 3𝑎 ) 2 𝑦 − 2 𝑏 𝑎 ∙ 𝑏 3𝑎 𝑦 + 𝑐 𝑎 𝑦 − ( ( 𝑏 3𝑎 ) 3 − 𝑏 𝑎 ( 𝑏 3𝑎 ) 2 + 𝑐 𝑎 ∙ 𝑏 3𝑎 − 𝑑 𝑎 ) = 0
𝑦 3 + (− 𝑏 2 3𝑎 2 + 𝑐 𝑎 ) 𝑦 +
2𝑏 3 27𝑎 3 − 𝑏𝑐 3𝑎 2 + 𝑑 𝑎 = 0 − 𝒃 𝟐 𝟑𝒂 𝟐 + 𝒄 𝒂 = 𝒑 𝟐𝒃 𝟑 𝟐𝟕𝒂 𝟑 − 𝒃𝒄 𝟑𝒂 𝟐 + 𝒅 𝒂 = 𝒒 𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0 Endi 𝑦 ti qandayda bir 𝑢 ha’m 𝑣 sanlarinin’ jiyindisi sipatinda belgilew kiriteyik. 𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0
𝒚=𝒖+𝒗 ⇒ (𝑢 + 𝑣) 3 + 𝑝(𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = 0 𝑢 3 + 3𝑢𝑣(𝑢 + 𝑣) + 𝑣 3 + 𝑝(𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = 0 → (𝑢
3 + 𝑣
3 + 𝑞) + (3𝑢𝑣 + 𝑝)(𝑢 + 𝑣) = 0 Axirg’i ko’riniste biz 𝑢 + 𝑣 lokal o’zgeriwishilerin joq etiwimiz kerek, ( Itibar berin’
3𝑢𝑣 + 𝑝 = 0 almastiriw qollanamis, onday bolsa to’mendegishe sistema kelip shig’adi:
4
{ 𝑢 3 + 𝑣 3 + 𝑞 = 0 3𝑢𝑣 + 𝑞 = 0
→ { 𝑢 3 + 𝑣 3 = −𝑞 𝑢 3 ∙ 𝑣 3 = −
𝑞 3 27 → 𝑣 3 =𝑏 𝑢 3 =𝑎 { 𝑎 + 𝑏 = −𝑞 𝑎𝑏 = −
𝑞 3 27 (∗) (∗) da ten’lemeler o’zgeriwshi-simmetrik ekenliginen uliwmaliq 𝑚 o’zgeriwshili kvadrat ten’leme alamis: 𝑚 2 + 𝑚𝑞 − 𝑞 3 27 = 0 bunnan ese 𝑚 1/2 = −
𝑞 2 ± √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 demek biz sheshimlerdi mas tur’de 𝑎 = − 𝑞 2 + √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 𝑏 = − 𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 alip 𝑎 ha’m 𝑏 orinlarina 𝑢 3 ha’m 𝑣
3
qoyamis: 𝑎 = 𝑢 3 = − 𝑞 2 + √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 𝑏 = 𝑣
3 = −
𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27
→
𝑢 = √− 𝑞 2 + √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 3 𝑣 = √− 𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 3 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 = √− 𝑞 2
𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 3 + √− 𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 3 bul 𝑦 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0 tin’ sha’rtlerde sheshimi esaplanadi. Demek 𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥
2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 mas hallarda sheshimin’ uliwmaliq ko’rinisi: 𝑥 = 𝑦 − 𝑏
→
𝒙 = √− 𝒒 𝟐 + √ 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 + √− 𝒒 𝟐 − √ 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 − 𝒃 𝟑𝒂 Umitpaw kerek! 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 de, 𝑚 o’zgeriwshili kvadrat ten’leme mas tu’rde 𝑎 ha’m 𝑏g’a ± ma’nislerin qabil etkenligi ushin 𝑢 ushin 3 ma’nis, 𝑣 ushinda 3 ma’nis alinadi, demek 𝑦 sheshimler kombinaciyasina ko’re 9 tu’rli ko’riniske iye boladi, biraq bulardi tek 3ewi g’ana kubik ten’leme sheshimi bola aladi. Qosimsha: Eger 3-da’rejeli ten’lemege kompleks sheshim izleyjaq bolsaq 𝑦 = 𝑢 + 𝑡 ∙ 𝑖 almastiriwin qollansaq boladi. ( A’lbette sha’rtlerdi umitpag’an halda) Al endi Al-Xorazmiy aytip o’tken ha’m Kardano geometrik sheshimin ko’rsete alg’an joldi ko’reyik. Demek biz 3-da’rejeli ko’pag’zalini 𝑥 3 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 kubik ten’lemege ko’rsetip o’tilgeninde a’kelemis ha’m sheshimdi bunnan bilay usig’an qarata izleymis. 5
Biz bilemis Al-Xorazmiy kvadrat ten’lemeni sheshiwde geometrik figura- kvadratta paydalanadi, demek ko’rinip turg’aninday biz kubik ten’lemede kubdan paydalanamis. Su’wrette ta’repleri 𝑦 qa ten’ bolg’an kub berilgen. Kubtin’ ishinde ta’repleri 𝑣 g’a ten’ ixtiyariy kub alinip, en’ shetki ushlarda uliwmaliq noxatqa iye. Al qalg’an 𝑦 − 𝑣 bo’liminen diagonal tu’rdegi ja’ne uliwmaliq kub penen shetki noxatqa iye kub ajratip alindi. Kubtin’ uliwma ko’lemi 𝑉 = 𝑦 3 , ishki kublardin’ ko’lemlerida mas tu’rde 𝑉 𝑣 = 𝑣 3 ha’m 𝑉
𝑦−𝑣 = (𝑦 − 𝑣) 3 . Ko’rinip turg’aninday ishki kublardan qalg’an deneler paralellopipedler esaplanip olardin’da ko’lemlerin keltirip o’teyik: 𝑉 𝑝.𝑘𝑖𝑠ℎ𝑖
= 𝑣 2 ∙ (𝑦 − 𝑣) 𝑉 𝑝.𝑜𝑟𝑡𝑎 = (𝑦 − 𝑣) 2 ∙ 𝑣 𝑉 𝑝.𝑢′𝑙𝑘𝑒𝑛 = 2𝑦𝑣(𝑦 − 𝑣) 𝑉 = 𝑉 𝑣
𝑦−𝑣 + 𝑉
𝑝.𝑘𝑖𝑠ℎ𝑖 + 𝑉
𝑝.𝑜𝑟𝑡𝑎 + 𝑉
𝑝.𝑢′𝑙𝑘𝑒𝑛
𝑦 3 = 𝑣
3 + (𝑦 − 𝑣) 3 + 𝑣
2 ∙ (𝑦 − 𝑣) + (𝑦 − 𝑣) 2 ∙ 𝑣 + 2𝑦𝑣(𝑦 − 𝑣) 𝑦 3 − 𝑣 3 = (𝑦 − 𝑣) 3 + (𝑦 − 𝑣)(𝑣 2 + 𝑦𝑣 − 𝑣
2 + 2𝑦𝑣)
𝑦 3 − 𝑣 3 = (𝑦 − 𝑣) 3 + 3𝑦𝑣(𝑦 − 𝑣) Kubik ten’lemege qaytamis ha’m mas tu’rdegi koefficientlerdi ten’lep sistema alamis:
(𝑦 − 𝑣) 3 + 3𝑦𝑣 (𝑦 − 𝑣) = 𝑦 3
3 𝑥
3 + 𝑝 𝑥 = −𝑞
𝒙 = 𝒚 − 𝒗 { 3𝑦𝑣 = 𝑝 𝑦 3 − 𝑣 3 = −𝑞
→
𝑦 3 =𝑏 𝑣 3 =𝑎 { 𝑎 3 ∙ 𝑏 3 = 𝑝 3 27 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑞
Mine ko’rinip turg’aninday ja’ne alding’i jolimis kelip shiqpaqta, bunin’da izinde 9 sheshimnen 3 ewig’ana kubik ten’lemeni qanaatlandiradi. ( Ja’ne qaytalayman + ha’m –
Endi bolsa kelin’ tariyxqa qaytip Umar Xayyam, 𝑥 3 + 𝑝𝑥 = 𝑞 tu’rindegi kubik ten’lemeler ushin qanday metod jaratip bergenligin qarap ko’reyik: 6
𝑥 3 + 𝑝𝑥 = 𝑞 | ∗ 𝑥
→ 𝑥
4 = 𝑥(𝑞 − 𝑝𝑥)
→
𝑥 4 𝑝 = 𝑞 𝑝 𝑥 − 𝑥
2 |
√ 𝑥 2 √𝑝 = √
𝑞 𝑝 𝑥 − 𝑥 2
𝒇 𝟏
𝒙 𝟐 √𝒑 ; 𝒇 𝟐 (𝒙) = √ 𝒒 𝒑 𝒙 − 𝒙 𝟐
Axirg’i ko’rinistegi 𝑓 1 (𝑥) − 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 ha’m
𝑓 2 (𝑥) − 𝑦𝑎𝑟𝑖𝑚 𝑠ℎ𝑒𝑛′𝑏𝑒𝑟 funkciyalardin’ grafiklerin kesilistirip ko’reyik (Grafikte tu’siniklirek boliwi ushin p,q lar ornina san
Usi jerde geometriya kursinan tuwri mu’yeshli ten’lemelerdegi bir ko’rinistida eske tu’sireyik:
𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶
2 = 𝐶𝐴
2 𝐴𝐵 2 − 𝐷𝐴 2 = 𝐵𝐶 2 − 𝐶𝐷
2 = 𝐵𝐷
2 𝑪𝑨=𝑪𝑫+𝑫𝑨
⇒ 𝐷𝐴 2 + 𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 2
⇒ 𝐵𝐷 2 = 𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝐷 7
Al endi grafikke qaytamis. Umar Xayyam joqaridag’i funkciya grafikinde qiziq bir na’rseni tabadi. Egerde usi koordinatalar sistemasina ko’rinisi 𝑥 2 + 𝑦
2 = √𝑝
2 g’a ten’ bolg’an shen’ber grafigin-de ha’m mas tuwrilardi-da sizsa, to’mendegishe ko’rinis payda boladi.
Su’wrette ko’rinip turg’aninday ∠𝐾𝐽𝐿 = 90° bul ese ten’leme sheshiw metodina ju’da u’lken qolayliq tuwdiradi. (Mu’yeshtin’ tuwri ekenligin sol waqitta u’shmeyishlik
8
𝐵𝐽 2 = 𝐾𝐴 2 = 𝐴𝐽 ∙ 𝐽𝐻 𝐴𝐽 2
2 = 𝐴𝐿 ∙ 𝐾𝐴 𝐴𝐻 = 𝑞
= 𝐴𝐽 + 𝐽𝐻 → 𝑆 𝐵𝐽𝐴𝐾 = 𝑆
𝐽𝐿 ′ 𝐿 ′′ 𝐻 → 𝐴𝐽 ∙ 𝐾𝐴 = 𝐴𝐿 ∙ 𝐽𝐻 𝐴𝐽 3 = 𝐴𝐿 ∙ 𝐴𝐽 ∙ 𝐾𝐴 = 𝐴𝐿 2 ∙ 𝐽𝐻
𝐴𝐽 3 + 𝐴𝐿 2 ∙ 𝐴𝐽 = 𝐴𝐿 2 ∙ 𝐽𝐻 + 𝐴𝐿 2 ∙ 𝐴𝐽 = 𝐴𝐿 2 ∙ 𝐴𝐻 (∗) (*) Almastiriwlardi orinlag’animistan son’ to’mendegi bastag’i ten’leme kelip shig’adi: 𝑥 3 + 𝑝𝑥 = 𝑞 (Egerde tu’siniksdey tu’yilse a’mellerdi aqirinan baslap yag’niy, misal ushin basta orayi ( 𝑞 2𝑝 , 0) noxatta jaylasqan, 𝑞 𝑝 diametrli shen’ber ten’lemesin du’zin’ ha’m radiyusi √𝑝 g’a ten’ saltan’ shen’berdi koordinata basina jaylastirin’ keyin tuwri mu’yeshli u’shmeyshliklerdi mas noxatlarg’a biriktirin’ ha’m arg’i jag’i o’zlerin’iske)) ) Keyingi usildi ese kubik ten’leme tek qana 3 haqiyqiy sheshimge iye bolg’anda qollaniwimis mu’mkin. 𝑥 3 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥 = 2𝑛 cos 𝛼 belgilew kiritsek to’mendegige iye bolamis: 8𝑛 3
3 𝛼 + 2𝑝𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑞 2𝑛 3
3 𝛼 +
𝑝 𝑛 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼) = −𝑞 Bul ko’rinis tu’siniklirek boliwi ushin 𝑝 𝑛
= −3 belgilewdi −1 ≤ −𝑞 2𝑛 3 ≤ 1 sha’rt penen alip cos 3𝛼 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠𝛼 almastiriw qollang’an waqitimista to’mendegishe ko’riniske erisemis: 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = − 𝑞 2𝑛
𝛼 = ±
1 3 ∙ arccos (− 𝑞 2𝑛 3 ) + 2 3 ∙ 𝜋𝑘 𝑘 ∈ 𝑍 𝑛 = ±√ 𝑝 3 𝑥 = ±2√
𝑝 3 ⋅ cos (± 1 3 ∙ arccos ( ∓ 𝑞 2√ 𝑝 3 27) +
2 3 ∙ 𝜋𝑘) 9
4-da’rejeli ko’pag’zali-ten’lemelerdi sheshiwdin’ qolay usili L. Ferrari usili bolip birinshi Ferrari buni qanday qilg’anin ko’rip shig’amis. Demek to’mendegishe ko’rinistegi ko’pag’zali-ten’leme: 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 𝑥 4
𝑏 𝑎 𝑥 3 + 𝑐 𝑎 𝑥 2 + 𝑑 𝑎 𝑥 + 𝑒 𝑎 = 0 𝑥 = 𝑦 − 𝑏 4𝑎
𝑥 2 = 𝑦 2 − 𝑏 2𝑎 𝑦 + ( 𝑏 4𝑎 ) 2
𝑥 3 = 𝑦 3 − 3𝑏 4𝑎 𝑦 2 + 3𝑏 2 16𝑎
2 𝑦 − 𝑏 3 64𝑎 3
𝑥 4
𝑦 4 − 𝑏 𝑎 𝑦 3 + 3𝑏 2 8𝑎 2 𝑦 2 − 𝑏 3 16𝑎 3 𝑦 + 𝑏 4 256𝑎 4
𝑦 4 − 𝑏 𝑎 𝑦 3 + 3𝑏 2 8𝑎 2 𝑦 2 − 𝑏 3 16𝑎
3 𝑦 + 𝑏 4 256𝑎 4 + 𝑏 𝑎 ( 𝑦 3 − 3𝑏 4𝑎 𝑦 2 + 3𝑏 2 16𝑎 2 𝑦 − 𝑏 3 64𝑎 3 ) + 𝑐 𝑎 ( 𝑦 2 − 𝑏 2𝑎 𝑦 + (
𝑏 4𝑎 ) 2 ) +
𝑑 𝑎 ( 𝑦 − 𝑏 4𝑎 ) +
𝑒 𝑎 = 0 𝑦 4 + ( 𝑐 𝑎 − 3𝑏 2 8𝑎 2 ) 𝑦
2 + ( 𝑑 𝑎 − 𝑏𝑐 2𝑎 2 + 𝑏 3 8𝑎 3 ) 𝑦 + 𝑒 𝑎 − 𝑏𝑑 4𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 16𝑎 3 − 3𝑏 4 256𝑎
4 = 0
𝑐 𝑎 − 3𝑏 2 8𝑎 2 = 𝐴 𝑑 𝑎 − 𝑏𝑐 2𝑎 2 + 𝑏 3 8𝑎 3 = 𝐵 𝑒 𝑎 − 𝑏𝑑 4𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 16𝑎 3 − 3𝑏 4 256𝑎
4 = 𝐶
→ 𝑦 4 + 𝐴 𝑦 2 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 = 0
Endi 𝑦 4 da’rejeni toliq kv-kvadrat jiynaw ushin 𝑚 o’zgeriwshili an’latpa qosamis: 𝑦 4 + 2𝑦 2 𝑚 + 𝑚
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐵𝑦 + 𝐶
− (2𝑦 2 𝑚 + 𝑚 2 ) = 0 ( 𝑦 2 + 𝑚 ) 2 − ( (2𝑚 − 𝐴)𝑦 2 − 𝐵𝑦 + 𝑚
2 − 𝐶
) = 0 (∗) (∗) Endi bizdin’ maqset 𝑎 2
𝑏 2 = ( 𝑎 − 𝑏 )( 𝑎 + 𝑏 ) tu’rinde jiklew bunin’ ushin ekinshi ko’pag’zalini ( (2𝑚 − 𝐴)𝑦 2 − 𝐵𝑦 + 𝑚
2 − 𝐶
) toliq kvadrat ko’rinisinde an’latiwg’a urinip ko’reyik: (2𝑚 − 𝐴)𝑦 2 − 𝐵𝑦 + 𝑚 2 − 𝐶
(√2𝑚 − 𝐴 ∙ 𝑦) 2 − 2 ∙ 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴
∙ √2𝑚 − 𝐴𝑦 + ( 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴 ) 2 + 𝑚 2 − 𝐶 − (
𝐵 2√2𝑚 − 𝐴
) 2
10
(√2𝑚 − 𝐴 ∙ 𝑦 − 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴 ) 2 + 𝑚 2 − 𝐶 − (
𝐵 2√2𝑚 − 𝐴
) 2
Bunnan ko’rinip turg’aninday ekinshi ko’pag’zalini toliq kvadratqa jiklew ushin: 𝑚 2 − 𝐶 − ( 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴 ) 2 = 0 Boliwi kerek, bul ese 𝑚 o’zgeriwshili 3-da’rejeli ten’leme ko’rinisine sa’ykes, demek biz ha’zirshe bul ten’lemeni sheship, sheshim tabamiz ( An’satliq tuwdiriwi ushin 𝑚 nin’ bir haqiyqiy sheshimin alip an’latip ketemis ): 𝑚 2 − 𝐶 − ( 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴 ) 2 = 8𝑚 3 − 4𝐴𝑚
2 − 8𝐶𝑚 + 𝐴𝐶 − 𝐵 2 = 0
𝑚 = 𝑛 + 𝐴 6 → 𝑚 2 = 𝑛 2 + 𝐴 3 𝑛 + 𝐴 2 36 𝑚 3 = 𝑛 3 + 𝐴 2 𝑛 (𝑛 +
𝐴 6 ) + ( 𝐴 6 ) 3
𝑛 3 − (
𝐶 + 5𝐴 2 36 ) 𝑛 − (
𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108 ) = 0
𝐶 + 5𝐴 2 36 = 𝑝
𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108 = 𝑞
→ 𝑛 3 − 𝑝 𝑛 −
𝑞 = 0
𝑛 = √ 𝑞 2 + √ 𝑞 2 4 − 𝑝 3 27 3 + √ 𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 − 𝑝 3 27 3 → 𝑚 = √ 𝑞 2 + √ 𝑞 2 4 − 𝑝 3 27 3 + √ 𝑞 2 − √ 𝑞 2 4 − 𝑝 3 27 3 + 𝐴 6 Demek 𝑚 nin’ 𝑚 2 − 𝐶 − (
𝐵 2√2𝑚−𝐴
) 2 ten’leme nolge aylantiratug’in ma’nisin taptiq onday bolsa (∗) buni to’mendegishe jazamis: ( 𝑦 2 + 𝑚
) 2 − (√2𝑚 − 𝐴 ∙ 𝑦 − 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴 ) 2 = 0 (𝑦 2 − √2𝑚 − 𝐴𝑦 + 𝑚 + 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴
⏟ 1 ) (𝑦 2 + √2𝑚 − 𝐴𝑦 + 𝑚 − 𝐵 2√2𝑚 − 𝐴
⏟ 2 ) = 0 Axirg’i ko’rinistegi ko’pag’zali ko’beymeninin’ ha’r birindegi kvadrat ten’lemelerden 4dana 𝑦 1.1 , 𝑦
1.2 , 𝑦
2.1 , 𝑦
2.2 sheshimleri shig’adi, demek 11
𝑦 4 + 𝐴𝑦 2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ten’leme sheshiminin’ uliwma ko’rinisi: 𝑦 1.1/1.2
= √2𝑚 − 𝐴 + √√2𝑚 − 𝐴 2 −
√2𝑚 − 𝐴 − 4𝑚
2 𝑦 2.1/2.2 = −√2𝑚 − 𝐴 + √√2𝑚 − 𝐴 2 +
√2𝑚 − 𝐴 − 4𝑚
2
𝑚 = √ 𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108
2 + √( 𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108 ) 2 4 − (𝐶 + 5𝐴 2 36 ) 3 27 3 + √ 𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108 2 − √( 𝐴𝐶 24 + 𝐵 2 8 + 𝐴 3 108
) 2 4 − (𝐶 +
5𝐴 2 36 ) 3 27 3 + 𝐴 6
Bul bir qarastan qorqinshliday tu’yiledi biraq parametrler ornina san qoyilip haqiyqiy esap shig’ariw waqitinda qollanilsa ap-an’sat. Al 𝑎𝑥
4 + 𝑏𝑥
3 + 𝑐𝑥
2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 ushin sheshimnin’ uliwma ko’rinisin 𝑥 = 𝑦 − 𝑏 4𝑎
almastiriwin qollanip tabamis, biraq o’zlerin’is)) ( Itibarli ta’repi: Uliwma kombinaciyalar 36 dana biraq olardin’ 4ewig’ana ten’lememistin’ sheshimi boliwi mu’mkin) Endi ese 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥
3 + 𝑐𝑥
2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 ten’leme ushin Dekart qanday sheshim tapqanin ko’reyik. 𝑥 4 + 𝑏 𝑎 𝑥 3 + 𝑐 𝑎 𝑥 2 + 𝑑 𝑎 𝑥 + 𝑒 = 0 𝑥 = 𝑦 − 𝑏 4𝑎
𝑦 4 + 𝑝𝑦 2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 (∗) (𝑥 2
2 + 𝐶𝑥 + 𝐷) = 0 𝑥 4
3 + (𝐵 + 𝐷 + 𝐴 ∙ 𝐶)𝑥 2 + (𝐴 ∙ 𝐷 + 𝐵 ∙ 𝐶)𝑥 + 𝐵 ∙ 𝐷 = 0 (∗∗) Biz (∗) ha’m (∗∗) lardin’ mas da’rejeli koefficientlerin ten’ew arqali ( Anaw 𝑦 minaw ese 𝑥 qo, ne qipatrsan’-o’zi? Desen’iz bir zatti umitpan’ 𝑦 o’zgeriwshi 𝑥 tan payda bolg’an)) ) 𝑦 4 + 0 ∙ 𝑦
3 + 𝑝𝑦 2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 𝑥 4 + (𝐴 + 𝐶)𝑥 3 + (𝐵 + 𝐷 + 𝐴 ∙ 𝐶)𝑥 2 + (𝐴𝐷 + 𝐵 ∙ 𝐶)𝑥 + 𝐵 ∙ 𝐷
Umitpan’: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝑦 - o’zgeriwshiler, 𝑝, 𝑞, 𝑟 - turaqli san (Bular aldinnan ma’lim) { 𝐴 + 𝐶 = 0 𝐵 + 𝐷 + 𝐴 ∙ 𝐶 = 𝑝 𝐴 ∙ 𝐷 + 𝐵 ∙ 𝐶 = 𝑞 𝐵 ∙ 𝐷 = 𝑟
(∗) → { 𝑝 = 𝐵 + 𝐷 − 𝐶 2 𝑞 = 𝐶 ∙ (𝐵 − 𝐷) 𝑟 = 𝐵 ∙ 𝐷 → ( 4𝑟 ∙ 𝐶 2
2 (𝐶 2 + 𝑝) 2 − 𝑞 2 = 0
𝐶 2 = 𝑚 ) 12
Axirg’i ten’leme 3-da’rejeli ten’lemege keledi: 𝑚 3 + 2𝑝𝑚 2 + (𝑝 2 − 4𝑟)𝑚 − 𝑞 2 = 0
𝒎=𝒏 − 𝟐𝒑 𝟑 → 𝑛 3 − ( 𝑝 2 3 + 4𝑟) 𝑛 − (𝑞 2 +
3 9 − 8𝑝𝑟 3 ) = 0 Keyingi ten’lemelerdi sheship almastiriwlardi atqarg’animistan son’ : 𝐶 = ±
√ 𝑝 2 3 + 4𝑟 2 + √( 𝑝 2 3 + 4𝑟) 2 4 − (𝑞 2 + 2𝑝 3 9 − 8𝑝𝑟
3 ) 3 27 3 + √ 𝑝 2 3 + 4𝑟 2 − √( 𝑝 2 3 + 4𝑟) 2 4 − (𝑞 2 + 2𝑝 3 9 − 8𝑝𝑟 3 )
3 27 3 + 2𝑝 3 Ko’rinip turg’aninday biz 𝐶 o’zgeriwshisinin’ ma’nisin taptiq. (∗) Sistemada qalg’an 𝐴, 𝐵, 𝐷 o’zgeriwshiler 𝐶 g’a qarata tabiladi ha’m: (𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷) = 0 Ko’rinisinde eki kvadrat ten’leme sheshiledi ha’m bizde 4-da’rejeli ko’pag’zalinin’ sheshimleri payda boladi. ( Bunda sheshimler kombinaciyasinan atlap o’tip ketildi, qollanip atirg’anin’ista itibarg’a alin’ ) Al endi en’ zor sheshimdi ko’rip o’temis ( Ha’resapta men ushin)) ). Negizinde Dekart usilinda ha’zirgi usildan paydalang’anday(Ha’zil). Bul a’lbette 4-da’rejeli ten’lemeler ushin F. Eyler usili. Demek 𝑦 4 + 𝑝𝑦
2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 ko’rinisindeg’i ten’leme. 𝑦 = √𝑎 + √𝑏 + √𝑐 tu’rindegi almastiriw qollanamis onday bolsa: 𝑦 = √𝑎 + √𝑏 + √𝑐 𝑦 2
𝑦 2 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 2(√𝑎𝑏 + √𝑎𝑐 + √𝑏𝑐) | (… ) 𝟐
𝑦 4 − 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑦 2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2 = 4 (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + √𝑎𝑏𝑐 (√𝑎 + √𝑏 + √𝑐) ⏟ 𝑦 ) 𝑦 4 − 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑦 2 − 4√𝑎𝑏𝑐 ∙ 𝑦 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2 − 4(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) = 0 (∗) 𝑦 4 + 𝑝 𝑦 2 + 𝑞 𝑦 + 𝑟 = 0 {
−2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑝 −4√𝑎𝑏𝑐 = 𝑞 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2 − 4(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) = 𝑟 → {
𝑎 + 𝑏 + 𝑐+= − 𝑝 2 𝑎𝑏𝑐 = 𝑞 2 16 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑝 2
− 𝑟 4 Aaal (∗) ten’leme nenidur esletpedime)) Haqiyqattanda zzor, ta’n qalarli usil, sonday emespa?! (Miyiq tartatin jerig’o). Demek. Haqiyqatinda-da +𝑏 + 𝑐 , 𝑎𝑏𝑐 , 𝑎𝑏 +
13
𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 lardin’ jen’ilmes u’shligi bizdi 3-da’rejeli ten’lemege Viyet teoremasinin’ qollaniliwina ma’jbu’rleydi (Biz kutgandik, Biz bilgandik)) ). Demek onday bolsa 𝑎, 𝑏, 𝑐 sanlari ushin: 𝑧 3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑧 2 + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) ∙ 𝑧 + 𝑎𝑏𝑐 = 0 𝑧 3 + 𝑝 2 ∙ 𝑧 2 + (
𝑝 2 16 − 𝑟 4 ) ∙ 𝑧 − 𝑞 2 16 = 0
𝑧 1 = 𝑎 𝑧 2 = 𝑏 𝑧 3 = 𝑐
Demek biz 𝑧 o’zgeriwshili 3-da’rejeli ten’lemeni sheshiw arqali 4-da’rejeli ten’lemenin’ sheshimin tabamis, kelin’ sheshimlerdi taptiq ha’m olar 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧
3 bolsin: 𝑦 1
1 + √𝑧
2 + √𝑧
3
(𝑦 − 𝑦 1 )(𝑦
3 + 𝑠 ∙ 𝑦
3 + 𝑡 ∙ 𝑦
2 + 𝑢 ∙ 𝑦 + 𝑣) = 0 Ja’ne 3-da’rejeli ten’lemeni sheshewimiske alip keledi. Al endi keyingi jag’in o’zlerin’iske qaldirdim)) Sool. En’ jaqsisi esaptin’ tu’rine qarap jol tan’lag’an maqulg’o )) negizinde-ne. Qullasi bular en’ basli ha’mde ha’mmesine tiykar bola aliwshi sheshimler esaplanadi. ( Bunnan basqada sheshim tabiw jollari bar bolip, olarg’ada toqtaliwimis ushin
14
Pikir, usinis ha’m ma’slaha’tler ushin: qidirbaevbegzat@gmail.com Download 0.67 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|