Jukovskiy funktsiyasi

II Bap.Ko’rsetkishli ha’m logorifimlik funktsiyalar
2.1. Ko’rsetkishli funktsiyalar

Kompleks sanlar tegisligi da qa’legen ti alip, to’mendegi

(
izbe-izlikti qaraymiz. Bul kompleks sanlar izbe-izligi da limitke iye boliwin ko’rsetemiz.
Eger desek , onda

boladi.
Endi z_n nin’ moduli ha’m argumentin tabamiz:


Eger
[(1+ )+ ] = + ,

bolatinin esapqa alsaq , bunnan
=0, =0
bolip,
= , (2.1)
(2.2)
kelip shig’adi.
izbe –izliginin’ moduli tin’ ha’mde argz_n nin’ limiti bar boladi.
2.1. Aniqlama .
Mina

izbe- izliginin’ limiti = .
A’dette
(2.3)
funktsiyani ko’rsetkishli funktsiya delinedi.
Keltirilgen aniqlama ha’mde (2.2) ha’m (2.3) lerden


(2.4)

boladi.
Endi funktsiyasinin’ tiykarg’i qa’siyetlerin keltiremiz.

1º. Ko’rsetkishli funktsiya barliq kompleks tekisligida golomorf funktsiyasi boladi.
Haqiyqattanda

dep,(2.4) paydalanip

boliwin tabamiz. Bul funktsiyalar manisinde diferentsiyalaniwshi. Onda bul funktsiya ushin

bolip,
= , =-
Koshi-Riman sharti orinli.
funktsiyasi da golomorf boladi.

2º. funktsiya komplekis tegislik nin’ har bir noqatinda tuwindig’a iye ha’m

boladi.
funktsiyasinin’ tuwindisi ozine ten ekenligin korsetemiz:

3º. Ko’rsetkishli funktsiya ushin to’mendegi

formula orinli boladi.
Aytayiq , bolsin. Onda

boladi.
Kompleks sandi ko’biytiw fo’rmulasinan paydalanip tabamiz:

Demek,
4º. Ko’rsetkishli funktsiya

periodli funktsiya bolip, onin’ da’wiri ge ten’.
Eyler formulasina ko’re

bolatug’inlig’in esapqa alip, ha’mde ko’rsetkishli funktsiyanin’ 3º- qa’siyetinen paydalanip ushin

boladi. Demek ,

Bul funktsiyasinin’ periodli funktsiya ekenin, onin’ da’wiri ten’ ekenligin ko’rsetedi.
Endi funktsiya ja’rdeminde orinlanatug’in sa’wlelendiriwlerdi u’yrenemiz.
Ko’rsetkishli funktsiyanin’ tuwindisi ushin

bolg’ani ushin , bul funktsiya ja’rdeminde orinlanatug’in sa’wlelendiriw
tegisliktin’ ha’r bir noqatinda konforim sa’wlelendiriw boladi.
Aytayiq , funktsiya tegisliktin’ qa’legen ha’r tu’rli ha’m noqatlarin tegisliktegi bir noqatqa sa’wlelendirewdi. Onda

yag’niy

bolip,
(2.5)

boliwi kelip shig’adi.

Demek, funktsiya tegisliktegi bazi bir oblastta o’z-ara bir ma’nisli funktsiya boliwi ushin usi oblastqa tiyisli bolg’an ha’r tu’rli ha’m noqatlarinda (2.5) sha’rttinin’ orinlanbawi za’rurli ha’m jeterli.
Misali , bunday oblast sipatinda

oblastti aliw mumkin.
Demek, funktsiya ja’deminde orinlanatug’in sa’wlelendiriw usi oblasttin’ ha’r bir noqatinda konforim bolip, funktsiya usi oblastta o’z-ara bir ma’nisli eken.
funktsiya ja’deminde orinlanatug’in usi oblastta konforim sa’wlelendiriw boladi.
Endi oblastti kerisi di tabamis.
Mina

tuwri siziqti alayiq. Bunda ha’m t tan’lang’an bolip, . Bul tuwri siziq ko’sherine parallel bolip, oblistqa tiyisli boladi.
funktsiya ja’rdeminde bul tuwrisiziq tegisliktegi

qa sa’wlelenedi. tegisliktegi 0 noqattan shiqqan
{w C_w:0nurdi ko’rsetedi.



parameter 0 den 2 ge shekem o’zgerip barsa, onda



tuwri siziqlar

oblastti payda etip, usi siziqtin’ funktsiya ja’rdemindegi sa’wlelendiriwleri

nurlari bolsa saat strelkasina qarsi ha’reketlenip, tegislikti toliqtirip baradi.
Bunda

tuwri siziqlarinin’ kerisi sa’ykes turde

bolip, olar tegislikte

nurdi ta’riypleydi.
Solay etip

funktsiya ja’rdeminde orinlanatug’in sa’wlelendiriw tegisliktegi

oblastti, tegisliktegi

oblastti konform sa’wlelendiredi.

Endi tegislikte


(2.6)

bunda ha’m t tan’lang’an bolip, , tuwri siziq bo’legin alayiq. Ol belgisiz ko’sherge parallel bolip, oblastqa tiyisli boladi.

funktsiya ja’rdeminde (2.6) tegisliktegi
(2.7)
ke sa’wlelendiredi. (2.7) orayi 0 noqatta, radiusi e^t g’a ten’ ha’m noqatqa iye bolmag’an shen’berdi beredi.

Demek,

Misallar. 1. Ko’rsetkishli funktsiya tegisliktegi

oblastti, tegisliktegi qanday oblastqa sa’wlelendiredi?

dep alayiq. Onda:

bolip, oblastta


boladi. Onda :

funktsiyasi ja’rdeminde tegisliktegi

tegisligindegi korinisin tabin’.
Eger desek, onda

bolip,

boladi. Demek,

2.2.Logarifimlik funktsiya
2.1.Aniqlama. Berilgen
(2.8)
ten’lemeni qanatlandiriwshi ha’r qanday sani saninin’ tiykarli (ya’g’niy natural) logariyfimi delinip, to’mendegishe jaziladi:
(2.9)
Bizge belgili degi ornina ha’r qanday san qoysaq ta hesh qashan nolge ten’ bolmaydi. Sonin’ ushin (2.8) de yag’niy noldin’ logarifimi joq.
Eger ha’m lerdi
koriniste jazsaq, (2.8) den to’mendegi
yamasa
ten’lemelerge iye bolamiz. Bunnan
yaki
demek,

yaki (2.9) boyinsha
(2.10)
bunda Sonin’ ushin geyde (2.10) ten’lik
(2.10´)
ko’rinisinde de jaziladi; bolg’an halin yag’niy di logarifimnin’ bas ma’nisi delinedi ha’m arqali belgilenedi:
(2.11)
Buni esapqa alip (2.10) formulani tomendegishe jaziw mu’mkin:
.
(2.10) ten’likte tin’ ha’r bir ma’nisine logorifimnin’ sheksiz ko’p ma’nisi saykes keletinin ko’remis, sebebi . Sonin’ ushin eger biz ti erikli o’zgeriwshi, yag’niy argument dep qabil qilsaq, onda (2.9) degi logarifimlik funktsiya ko’p ma’nisli boladi. 2.1.Aniqlama boyinsha (2.8) den (2.9) kelip shiqqani ushin funktsiya bir ma’nisli funktsiyag’ salistirg’anda keri funktsiya bolip esaplanadi.
Endi (2.10) bazi dara jag’daylarin qarastiramiz.
1) on’ san bolsin. Onda boladi. Usilardi (2.9) g’a qoysaq

ma’nislerge iye bolamiz. Elementar matematikada usi ma’nslerdi bolg’an halin, ya’g’niy qollaniladi. Eger nin’ barliq ma’nislerin jazsaq to’mendegige iye bolamiz:
…,
teris san bolsin, dep alayiq. Onda

bulardi (2.10) ke qoysaq,

ya’ki
…,
bunin’ bas ma’nisi

yag’niy teris sannin’ logarifimi kompleks sannan ibarat. Basqasha aytqanda, haqiyqiy sanlar oblastinda teris sannin’ logarifimi aniqlanbag’an. Sonin’ ushin elementar matematikada teris sannin’ logarifimi tekserilmeydi.
Logarifimlar haqqinda tiykarg’i teoremalar. San logarifimnin’ joqarida berilgen aniqlamasi mazmuni elementar matematikadan pariq qilmaydi. Sonin’ ushin elementar matematikada da’lillengen logarifimge tiyisi teoremalar kompleks sanlarda da orinli. Olar tomendegilerden ibarat:
1.
2. .
Bul teoremalardin’ da’lilleniwi de elementar matematikadan pariq qilmaydi.
Meiyli,

yag’niy

bolsin. Onda :

bunnan, logarifimnin’ aniqlamasi boyinsha

yag’niy

birinshi teorema da’lillendi.
1-misal. ?
Da’slep (-1) di trigonometriyaliq yamasa ko’rsetkishli ko’riniste jazip alamiz:
,
yag’niy
Demek , (2.10) ke tiykarlanip:

Sebebi ( ). Solay etip, (-1) din’ logarifimleri

teris sanlardan ibarat bolip , jup-jupta o’z-ara qosindi sanlar. Goemetriyaliq jaqtan qarasaq bular teris ko’sherge jaylasqan ha’m kardinatalar basina salistirg’anda semmetriyali noqatlardi su’wretleydi.
2-misal. ?

yag’niy

( )
3-misal. ?




4-misal. ?
yamasa ,
- to’rtinshi sherektegi funktsiya. Demek ,