Кардинальные свойства плоскости Немыцкого

Определение. Функциональная теснота пространства есть наименьшее бесконечное кардинальное число такое, что каждая -непрерывная вещественная функция на непрерывна.

Определение. Слабая теснота пространства есть наименьшее бесконечное кардинальное число такое, что выполняется следующее условие: множество не замкнута в , то существует такая точка

, для множество и множество , что , и .

Теорема[5].Для любого пространства имеет место следующее неравенство:

(

(c)

Утверждение. Функциональная теснота пространства равно счетная.

Утверждение. Слабая теснота пространства равно счетная.

•  

[5] Aleksander V. Arhangel'skii A.V. Functional tightness, Q-spaces and τ –embeddings // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Vol. 24 (1983), No. 1, 105-120.

Определение. Кардинал есть калибр пространства , если каждое семейство мощности , состоящее из непустых открытых подмножеств пространства , содержит подсемейство мощности с непустым пересечением. Наименьший кардинал , такой, что каждое семейство мощности , состоящее из непустых открытых подмножеств пространства , содержит подсемейство мощности с непустым пересечением, называется числом Шанина пространства и обозначается через .

Определение.- наименьший кардинал с тем свойством, что следующий за ним кардинал есть калибр пространства .

•  

Определение. Кардинал калибр называется числом Шанина пространства и обозначается .

Определение. Кардинал калибр называется числом Шанина пространства и обозначается .

Если , – прекалибр , где число прешанина.

Утверждение [7]. Пусть – любое топологическое пространство. Тогда .

Теорема [6]. Пусть сепарабельное пространство. Тогда всякий несчетный кардинал является калибром пространства .

Утверждение. Прешанин плоскости Немыцкого счетен, т.е.