Karimov feruz raimovich integrallarni taqribiy hisoblashda optimal kvadratur formulalar

Nyuton – Kotes kvadratur formulalari:
Nyuton – Kotes formulalari eng dastlabki interpolyatsion kvadratur formulalardan hisoblanadi. Bu formulalarda oraliq chekli, vazn funksiyasi va tugunlar teng uzoqlikda joylashgandir. Lekin aksariyat adabiyotlarda Nyuton – Kotes formulasi (1.1) ko`rinishida emas, balki boshqa ko`rinishda keltiriladi.[12] Biz ham shu ko`rinishda qaraymiz. Buning uchun [a,b] oraliqni
k= h=
(n+1) ta nuqtalar yordamida n ta bo`lakka bo`lamiz va koeffisentlarni tegishli ko`rinishga keltirish uchun
=
integralda x=a+th almashtirish bajaramiz,

bo`lganligi uchun
=
demak,
=
Endi
=
deb olsak, u holda Nyuton – Kotes formulasi quyidagicha yoziladi:
.
bundagi koeffisentlar [a,b] oraliqda bog`liq emas.
Kotes tomonidan koeffisentlar n=1,2,..,10 uchun hisoblangan. R.O. Kuzmin lar uchun da asimptotik formulalarni topgan edi. Bu formulalardan jumladan, da kelib chiqadi. Endi ekanligini hisobga olsak, bundan n yetarlicha katta bo`lganda koeffisentlar orasida manfiylari ham, musbatlari ham mavjudligi ravshan bo`lib qoladi. Hatto, n=8 va n=10 bo`lganda ham lar orasida manfiylari mavjuddir. Shuning uchun ham Nyuton-Kotes formulalarini katta n larda qo`llash maqsadga muvofiq emas. Ravshanki, n=1 va n=2 bo`lganda formuladan mos ravishda trapetsiya va Simpson formulalari kelib chiqadi. To`g`ri to`rtburchak formulasi esa va n=1 bo`lganda
.
formuladan kelib chiqadi. n=3 bo`lganda (1.1) dan “Sakkizdan uch qoidasi” deb ataluvchi Nyuton formulasiga ega bo`lamiz:

Nyuton – Kotes formulasi bilan tanishib chiqdik. Endi Mathcad dasturida formulaning yechimini va qoldiq hadini ko`ramiz[6-9].

Interpolyatsion kvadratur formulalar va umumlashgan kvadratur formulalar bilan tanishdik. Endi bu formulalar ya’ni to`g`ri to`rtburchak, trapetsiya, Simpson formulalarning dasturlarini Mathcad dasturlash tilida yechimini va qoldiq hadini ya’ni xatosini ko`ramiz.

Dasturda qatnashgan o`zgaruvchilar:
M1, M2 – biz tuzgan dasturning chiqargan natijasi.
N1, N2 – Mathcad dasturining chiqargan natijasi.
R1, R2 – qoldiq hadi.

Xulosa chiqaradigan bo`lsak, <sub> </sub> funksiya orqali uchta kvadratur formulaning chiqargan natijasini ko`rdik. Demak, qoldiq hadlarni hisobga oladigan bo`lsak, to`g`ri to`rtburchakdan trapetsiya, trapetsiyadan Simpson kvadratur formulasi yaxshi natija berdi.