Karrali integral Ikki karrali integralni mavjudligi

6-misol. Ikki karrali integralni hisoblang
agar integratsiya hududi samolyotlar bilan cheklangan bo'lsa x + y = 1 , x + 2y = 4 , y = 0 , y = 1 , z = 1 , z = 5 .
Yechim. 5-misol bilan solishtirganda "kurort" misoli, chunki "y" va "z" uchun integratsiya chegaralari noyob tarzda aniqlanadi. Lekin biz "x" ustidagi integratsiya chegaralari bilan shug'ullanishimiz kerak. Integratsiya mintaqasining tekislikka proyeksiyasi xOy trapesiyadir A B C D.
Ushbu misolda trapetsiyani o'qga proyeksiya qilish foydaliroqdir Oy, aks holda, uchlik integralni hisoblash uchun siz raqamni uch qismga bo'lishingiz shart emas. 4-misolda biz integratsiya hududiga pastdan qaray boshladik va bu odatiy tartib. Ammo bu misolda biz yon tomondan qarashni boshlaymiz yoki agar osonroq bo'lsa, raqamni yon tomoniga qo'yamiz va biz unga pastdan qaraymiz deb taxmin qilamiz. Biz "x" ga nisbatan integratsiya chegaralarini faqat algebraik tarzda topishimiz mumkin. Buning uchun misol shartida berilgan birinchi va ikkinchi tenglamalardan “x” ni ifodalaymiz. Birinchi tenglamadan biz pastki chegarani olamiz 1 - y, ikkinchidan - eng yuqori 4 - 2 y... Keling, bu uchlik integralni uchta aniq integral qatoriga keltiraylik:
Diqqat! Bu misolda eng tashqi integral "x" o'zgaruvchisi ustida emas, balki "y" o'zgaruvchisi ustida, "o'rtacha" esa "x" o'zgaruvchisi ustida! Bu erda biz qo'sh integralni o'rganishda tanishgan integrallash tartibidagi o'zgarishni qo'lladik. Buning sababi, yuqorida aytib o'tilganidek, biz integratsiya hududini pastdan emas, balki yon tomondan tekshirishni boshladik, ya'ni biz uni o'qga emas, balki proyeksiya qildik. ho'kiz, har bir eksa Oy.
Biz eng ichki integralni hisoblaymiz - o'zgaruvchi ustidan z, X va Y konstantalar sifatida hisobga olinadi. Biz olamiz:
Biz o'rtacha integralni hisoblaymiz - o'zgaruvchi ustidan x... Biz olamiz:
.
Nihoyat, biz eng tashqi integralni hisoblaymiz - o'zgaruvchi ustidan y:

f (x, y) funksiya D  R² sohada berilgan bo‘lib, chegaralangan bo‘lsin. Ya’ni shunday m, M sonlari mavjud bo‘lsaki, (x, y)  D uchun m  f (x, y)  M bo‘lsin. D sohaning P bo‘linishini qaraymiz Har bir D_k bo‘lakda f (x, y) funksiya chegaralangan bo‘ladi. M_k=inf  f(x,y), m_k=supf(x,y)  (x,y) D_k m  inf f (x, y) , M  sup f (x, y) , (x, y) Dk (x, y)  uchun m f (x, y) M , (k 1,n) k   k  . k n k s mk D   1 va k n k S  MkD   1 mos ravishda Darbuning quyi va yuqori yig’indilari deyiladi hamda ular f (x, y) funsiyaga va D sohaning P bo‘linishiga bog’liq bo‘ladi. S= s_p ( f )  P , S =S_p ( f )
Xossalari:
1 . s  S ;
2 . s _p( f )   (f,  _k, _k)  S_p(f) ;
3 . mD  s  S  MD.
Darbuning quyi yig’indilari.
1-ta’rif. s_p f to‘plamning aniq yuqori chegarasi f x ,y  funksiyaning D sohadagi quyi ikki karrali integrali deyiladi va I=  f (x, y)dD kabi belgilanadi.
Darbuning yuqori yig’indilari S p  f  to‘plamining aniq quyi chegarasi f x y  ,  funksiyaning D sohada yuqori ikki karrali integrali deyiladi va I=  f(x ,y )dD kabi belgilanadi. 2-ta’rif. Agar f x ,y  funksiyaning D sohada quyi hamda yuqori ikki karrali integrallari bir-biriga teng bo‘lsa, u holda sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va f x , y funksiya D sohada integrallanuvchi deyiladi, ularning umumiy qiymati
I=  f(x ,y )dD = f (x, y)dD
F(x,y) funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va u
 f(x ,y )dD
kabi belgilanadi.
Agar  f(x ,y )dD   f (x, y)dD
bo‘lsa, f x ,y  funksiya D sohada integrallanmaydi deyiladi.
Teorema. f  x,y  funksiya D sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun,    0 olinganda ham, shunday   0 topilib, D soha diametri  p  bo‘lgan har qanday P bo‘linishi uchun Darbu yig’indilari