Karrali integral Ikki karrali integralni mavjudligi

Karrali integral - tekislikning maʼlum sohasida, 3 oʻlchovli yoki p oʻlchovli fazoda berilgan funksiyalardan olingan integral. K. i., odatda, 2 karrali, 3 karrali va h. k. integrallar deb yuritiladi. Ushbu f(x, u) funksiya tekislikning biror D sohasida berilgan boʻlsin. Dsohani yuzi 5(boʻlgan p ta mayda dj sohalarga boʻlamiz va har bir dt sohada (£., l.() nuqtalarni tanlab, quyidagi integral yigʻindini tuzamiz:psn = i /(Zjji^Sj. (l)Barcha dt sohalarning eng katta diametri Xa nolga intilganda (1) integral yigʻindi sohaning S, boʻlaklarga qanday usul bilan boʻlinishiga hamda (!;., l.) nuqtalarning qanday olinganiga bogʻliq boʻlmagan holda har doim bitta chekli limitga ega boʻlsa, u holda f(x, u) funksiya D sohada integrallanuvchi deyiladi. Limitning qiymatiga esa/(x, u) funksiyaning D soha boʻyicha olingan ikki karrali integrali deyiladi va U Ya f(x,y)dS bilan belgilanadi. Uch karrali va umuman i karrali integral ham shunga oʻxshash taʼriflanadi. Matematik J. Grin va M. Ostrogradskiyning K. i.ni oʻlchamlarini kichik boʻlgan integrallarga keltiruvchi formulalari bor. K. i. mexanika, fizika va b. sohalarda qoʻllaniladi.
Biz hozir karrali integrallarni bog‘lovchi muhim formulani keltirib chiqaramiz.
tekislikda 1-tip yopiq D sohani qaraylik ( to‘g‘ri chiziqlar va  uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan). Sohaning chegarasini L orqali belgilaylik (13-rasm).
13-rasm
Shu sohada  funksiya uzluksiz va  uzluksiz hosilaga ega.  ikki karrali integralni hisoblaylik.

Shunday qilib,  , yoki
(1).
Endi  egri chiziqli integralni hisoblaylik:
, (2)
bu yerda  va  lar Ox o‘qqa perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar bo‘lgani uchun  .
AB egri chiziq tenglamasi bo‘lgani uchun  egri chiziq tenglamasi  bo‘lgani uchun  tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Topilganlarni (2) ga qo‘ysak:
. (3)
(1) va (3) tengliklarga binoan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
. (4)
Endi D 2-tip soha ( to‘g‘ri chiziqlar chap va o‘ng tomonlardan mos ravishda  uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan) bo‘lsin (14-rasm).

D sohada  funksiya uzluksiz va u uzluksiz  hususiy hosilaga ega.
Yuqoridagi mulohazalarni yuritib, quyidagi tenglikni isbotlash mumkin:
(5)
Agar soha ham 1-tip, ham 2-tip soha bo‘lsa, u holda (4) va (5) tengliklarni ikkalasi ham o‘rinli bo‘ladi.
(5) tenglikdan (4) tenglikni hadma-had ayirib, ushbu formulani hosil qilamiz:
(6)
Bu Grin formulasi deyiladi.
Eslatma. Agar D soha 1-tip soha ham, 2-tip soha ham bo‘lmasa, uni chiziqlar yordamida bir nechta 1-tip va 2-tip sohalarga keltirib (15-rasm) yuqoridagi formulalarni isbotlash mumkin.

Egri chiziqli integral yordamida tekis figuralar yuzalarini hisoblash
Agar  deb olsak,  bo‘lib, 4-§ (4) formulaga binoan  tenglikni hosil qilamiz.  integral D sohaning yuzasini ifodalagan uchun
(1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Xuddi shu kabi 4-§ (5) formulaga binoan  deb, ushbu formulani hosil qilamiz:
. (2)
(1) va (2) tengliklarni hadma-had qo‘shib, ushbu formulani hosil qilamiz:  . (3)