Karrali xosmas integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

1.1-§. Birinchi jins xosmas integrallar.


Ta’rif:

		A
Aytaylik	funksiya [a,∞) oraliqda berilgan	bo ‘lib,  f ( x ) dx integral mavjud
		a
bo’lsin,	bunda A>0. U vaqtda, agar ushbu chekli limit mavjud bo ‘lsa, ya ‘ni
	A
	lim  f ( x ) d x  J ,	(1)
	A  a

bunda J-chekli son, u holda buni birinchi jins xosmas integral yoki f(x) funksiyaning [a,∞) oraliqda xosmas integrali deyiladi va


J f(x)dx ₍₂₎

a

simvol bilan belgilanadi. Bu holda (2) xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar (1) limit mavjud bo ‘lmasa yoki limit cheksizga teng bo ‘lsa, u holda (2) xosmas integral uzoqlashuvchi yoki mavjud emas deb ataladi. Xuddi shuningdek quyidagi integrallar qaraladi:

a		a
	^f ^( ^x ^) ^d x  li m  ^f ^( ^x ^) ^d x (3)
		A A
	a	
 f ( x ) d x  		f ( x ) d x   f ( x ) d x (4)
		a

bularda a- ixtiyoriy son.

Xosmas integral aniq integralning limiti sifatida aniqlanganligi uchun aniq integralning ko ‘p xossalari xosmas integral uchun ham bajariladi. O ‘rta qiymat haqidagi teorema o ‘z kuchini yo ‘qotadi. Birinchi jins xosmas integralni

hisoblash ta ‘rifga asosan amalga oshiriladi. Haqiqatan ham, agar F(x)-funksiya f(x) funksiya uchun boshlang ‘ich funksiya bo ‘lsa, u holda

	A
	f ( x ) d x  lim 	f ( x ) d x  lim [ F ( A )  F ( a ) ]  F (  )  F ( a )  F ( x )		^a ,
a	A  a	A
bunda
		F (  )  l i m F ( A ) .
		A

Shunday qilib, (2) xosmas integralni hisoblash uchun ushbu umumlashgan

Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz:

• 
  
  

• 
  f ( x ) d x  F (  )  F ( a ) (5).
  

a

Xuddi shuningdek,

a
_ f ( x ) d x  F ( a )  F (  ) ,

• 
  
  

• 
  f ( x ) d x  F (  )  F (  ) ,
  


bunda F (  )  _{l i m} F ( A ) .

A


Misollar:


1.  e ^{ a xd x ( a  0 )} xosmas integral hisoblansin.

0


Yechish: Ta ‘rifga asosan



1

 e ^ ^ ^x d x  l i m .0^A e ^ ^ ^x d x  li m [ 

e ^ ^ ^x ]

^A



0

A

A

^ li m

[ 

1

( e ^ ^ ^A  e

^^^0)]

1

li m

^( e

^^^A1) 

1

A





A



Javob: Xosmas integral yaqinlashadi.


x d x

2. _{1 1  x} 2 integral tekshirilsin


Yechish:

A
Ta ‘rifga asosan li m 	x d x				1	li m [ l n (1  x ^2 ) ] 			1	li m [ l n (1  A ^2 )  l n 2 ] 
			2		2				2
A 11		x				A				A
Javob:Integral uzoqlashadi.
							d x
3.  ning qanday qiymatlarida 								( a  0 )		xosmas integralning mavjudligi
							
						a	x

tekshirilsin.

Yechish: Ta ‘rifga asosan

d x

^A d x



a

1  

1

1



,

1  

A

1  

1  



li m





li m ( x

)

a



li m ( A

 a

) 



  1

a g a r   1

x ^

x ^

A

1 A

1  

A



  ,

a g a r   1

a

a



Javob:   1 bo ‘lsa, integral yaqinlashadi,

• 
   1 bo ‘lsa, integral uzoqlashadi. Bu misoldan birinchi jins xosmas integralning yaqinlashuvchi
  

yoki uzoqlashuvchi bo ‘lishi belgilarini keltirib chiqarishda foydalanamiz.