Karrali xosmas integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

1.2-§ Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari.

Ba ‘zi hollarda funksiyaning boshlang ‘ich funkiyasini topib bo ‘lmaydi. Bunday vaqtda xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo ‘lishini aniqlash uchun boshlang ‘ich funksiyani axtarmasdan ma ‘lum bir belgilarga murojat qilishga to ‘gri keladi. Birinchi jins xosmas integralni yaqinlashishini yoki uzoqlashishini tekshirish uchun yetarli shartni ifodalovchi quyidagi belgini keltiramiz.

Teorema: (Yaqinlashish belgisi) Aytaylik f(x) funksiya [ a ,  ) oraliqda uzluksiz va musbat bo ‘lsin, ya ‘ni f ( x )  0 . U vaqtda, agar [ a ,  ) oraliqda

Demak, (9) funksiya yuqoridan chegaralangan. Ma ‘lumki agar funksiya o ‘suvchi va yuqoridan chegaralangan bo ‘lsa, u holda A  chekli limitga ega bo ‘ladi, ya‘ni

1. 
   
   

li_Am_  f ( x ) d x  f(x)d x

a a

integral mavjud bo ‘ladi. Demak, (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar (8) tengsizlik bajarilsa, u holda

			a			A		M		A	d x
	Ô ( A )   f ( x ) d x  								d x  M	
								x ^			x ^
			A			a				a
bo ‘ladi	a  1 bo ‘lganda esa	li m	A	d x			dir.
		A		x ^
			a
Bu esa
						
		li m Ô ( A )  li m						f ( x ) d x 
		A 			A



ekanligini anglatadi. Demak, (7) xosmas integral uzoqlashadi. Teorema ibotlanadi. Bu isbotlangan teoremadan amaliyotda tatbiq qilinadigan xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo ‘lishini ta ‘minlovchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi.


Yaqinlashish uchun yetarli belgi. Aytaylik [a,∞) oraliqda f(x) funksiya musbat va uzluksiz bo ‘lsin . Agar   1 bo ‘lib, ushbu

li m

x ^ f ( x )  J

(10)

x 

chekli limit mavjud bo ‘lsa, u holda (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar

  1

bo ‘lib, ushbu

li m x ^

f ( x )  J

 0

(11)

x 

chekli yoki

cheksiz

limit mavjud

bo ‘lsa,

u

holda

(7) xosmas integral

uzoqlashadi.

Birinchi hol. Aytaylik

  1 bo ‘lganda (10) limit mavjud bo ‘lsin. U vaqtda

limit ta ‘rifiga asosan    0

uchun  N

bo ‘ladiki, x>N bo ‘lganda x ^ f ( x )  J  

tengsizlik

bajariladi.

Bundan

f ( x )



M

kelib

chiqadi, bunda

MJ

 0 .

x ^



Shunday qilib (6) shart

hosil

bo ‘ladi. Bu esa



f ( x ) dx integralning

mavjudligini

N

ta ‘minlaydi. Quyidagi



N



 f ( x ) dx

^

f ( x ) dx





f ( x ) dx

(12)

a

a

N

tenglikdan esa (7)-xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.

Ikkinchi	hol.   1 bo ‘lganda (11) limit mavjud bo ‘lsin. Bizda J>0 J dan
kichik bo ‘lgan musbat M sonni				olamiz. U vaqtda tanlangan M bo ‘yicha shunday
N sonni topish	mumkinki,		natijada x>N bo ‘lganda		x ^ f ( x )  Mtengsizlik
bajariladi (ma ‘lumki, agar x n			 b	va b  r  b  r  bo ‘lsa, u holda ma ‘lum bir joydan
boshlab x n  r  x n	 r 	munosabat bajariladi). Shunday			qilib (8) tengsizlik hosil
	
bo ‘ladi. Bundan esa 		f ( x ) d x
	N

integralning uzoqlashuvchi bo ‘lishi kelib chiqadi. (12) ga asosan (7) integral

uzoqlashadi.

Misollar:



dx

1.



integral tekshirilsin

x ^3

 x ^2

 2

0