Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari

1.3 Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari
Kars tartibli integrallar: matematik analiz kursidan ma’lumki – karrali integral uchunquyidagi formula o’rinli:





ekanligini e’tiborga olsak, yuqoridagi tenglikning o’ng tomoni ning kasr qiymatlari uchun aniqlash mumkin.
Haqiqiy o‘qdagi kesmada kasr tartibli integral va hosilalar.
Abel integral tenglamasi. Abel integral tenglamasi keng o‘rganilgan va ko‘p sohada qo‘llaniladi. Ikkinchi tomondan Abel integral tenglamasidagi integral doimiyga ko‘paytirilgan Riman-Luivill kasr tartibli integralini aniqlaydi. Abel integrali kasr tartibli integralni topish imkonini beradi.
= , x> , 0< (1.3.1)
(1.3.1) ga Abel tenglamasi deyiladi.
Bu tenglamani da ko‘ramiz. Abel tenglamasining yechimini (1.3.1) da ni ga ni ga mos ravishda almashtirib topamiz:
=
Tenglamaning ikkala tomonini ga ko‘paytiramiz:
=
hosil bo‘lgan tenglikni t bo‘yicha a dan gacha integrallab quyidagini olamiz
=
Tenglikning chap tomonini integrallash tartibini o‘zgartirib
(1.3.2)
(1.3.2) Dirixle formulasiga asosan quyidagini hosil qilamiz:
=
almashtirish bajarib ichki integralni quyidagicha ifodalaymiz:
( )
bu yerda biz gamma funksiya formulalardan foydalandik.
Quyidagi tenglik o‘rinli
(1.3.3)
hosil bo‘lgan tenglikning ikkala tomonini x bo‘yicha integrallab quyidagini olamiz
(1.3.4)
(1.3.4) Abel teoremasi yechimga ega bo‘lsa, u vaqtda bu yechim (1.3.4) echimga teng bo‘lishi zarur va bu yechim yagona. (1.3.4) da 0 < deb qaragan edik da Abel tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi
, x>
uning yechimi esa mos ravishda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
.
a>1 hol 0 < holda (1.3.4) ning ikkala qismini x bo‘yicha differensiallab keltiriladi.
Shunga o‘xshash mos ravishda quyidagi ko‘rinishdagi Abel tenglamasi qarab chiqiladi
=f(x), x da quyidagi formula
,
Abel tenglamasi yechimini asoslash.
Abel tenglamasi yechilishi uchun funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishini aniqlaymiz.Quyidagi belgilashni kiritamiz


= .
Agar bo‘lsa u vaqtda Є bo‘ladi, bunda .
Isbot. ta’rifga asosan quyidagini anglatadi:


tengsizlik bajarilishini ko‘rsatamiz.
Quyidagiga egamiz

oxirgi integralda (1.3.2) Dirixle formulasiga asosan integrallash tartibini o‘zgartirib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:



funksiya chegaralangan da , shuning uchun integralning o‘rta qiymati haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini hosil qilamiz.
,