Kasr tartibli integrodifferensial operatorlarning mellin integral almashtirishlari

УДК: 517.9+517.948.3
KASR TARTIBLI INTEGRODIFFERENSIAL OPERATORLARNING MELLIN INTEGRAL ALMASHTIRISHLARI
Xursanali Nurmatovich Qosimov-FarDU fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent.
Jamshid Shoyunus o’g’li Mamayusupov-FarDU matematika yo’nalishi magistranti.


Annotatsiya
Maqolada funksiyadan boshqa funksiya bo'yicha olingan kasr tartibli integrodifferensial operatorlarning Mellin integral almashtirishlari o’rganilgan.
Kalit so’z va iboralar: Mellin integral almashtirishi, Dirixle formulasi, kasr tartibli integrodifferensial operatorlar.


ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНA ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
X.Н.Косимов-ФерГУ кандидат физика математических наук, доцент.
Ж.Ш.Мамаюсупов- ФерГУ магистр по направление математики.


Аннотация
В статье изучены интегральные преобразования Меллинa интегродифференциальных операторов дробного порядка.
Ключевые слова и выражения: интегральное преобразование Меллинa, формула Дирихле, интегродифференциальные операторы дробного порядка.


TRANSITIONS MELLINE INTEGRAL OF FRACTIONAL INTEGRODIFFERENTIAL OPERATORS
X.N.Qosimov-FarSU is a candidate of physical and
mathematical sciences, docent.
J.SH.Mamayusupov-FarSU is a master of mathematics.


Annotation
The article describes Mellin integral transitions of fractional integrodifferential operators obtained form the function other than the function.
Key words and word expressions: Melline integral transition, formula Dirixle, fractional integrodifferential operators.
Kasr tartibli integrodifferensial operatorlar tushunchasi, giperbolik va aralash tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni o'rganish bilan uzviy bog'langan.
Xuddi , ishlardagi kabi funksiyadan funksiya bo'yicha kasr tartibli integrodifferensial operatorlarni quyidagicha kiritamiz:
(1)
bu yerda esa monoton va uzluksiz xosilaga ega funksiya bo'lib -Eylerning gamma funksiyasi .
Bizga ma'lumki funksiyaning Mellin integral almashtirishi
(2)
formula bilan , teskari Mellin intagral almashtirishi esa
(3)
formula bilan aniqlanadi .
Agar funksiya bilan uning Mellin integral almashtirishi orasidagi bog’lanishni kabi belgilasak u holda quyidagi umumiy formula o’rinli bo’ladi:
(4)
1-teorema. Agar 1) va yoki 2) , , va da bo'lsa, u xolda
, , (5)
tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot. 1) bo'lsin u xolda tarifga ko’ra

ifodani hosil qilamiz. Bu ifodaga Dirixle formulasini qo’llab, ichki integralda almashtirishni bajarib

_{munosabatni hosil qilamiz. Demak, (5) formula o'rinli ekan.
2) bo'lsin. Teorema shartiga ko'ra bo'lganligi uchun kasr tartibli hosila mavjud va uni ko'rinishda yozib olish mumkin. Bu ifodaga Mellin integral almashtirishini qo'llaymiz va hosil bo'lgan ifodani bo'laklab integrallaymiz:}

<sup>Bu ifodadan, teorema shartiga ko'ra,

Ifoda kelib chiqadi. Bundan esa, (4) formulaga ko'ra, (5) formulaning to'g'riligi kelib chiqadi.</sup>
2-teorema. Agar 1) va yoki 2) , va da bo'lsa, u xolda
⁽⁶⁾
tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot. 1) bo'lsin, u xolda tarifga ko’ra

ifodani xosil qilamiz. Bu ifodaga Dirixle formulasini qo'llaymiz va ichki integralda almashtirish bajarsak, (6) formulaning to’g’riligi kelib chiqadi.
2) bo'lsin. Teorema shartiga ko'ra bo'lganligi uchun _{kasr tartibli hosila mavjud va uni ko'rinishda yozib olish mumkin. Bu ifodaga Mellin integral almashtirishini qo'llaymiz va hosil bo'lgan ifodani bo'laklab integrallaymiz. Natijada}
ifodaga ega bo’lamiz. Bundan esa, teorema shartiga ko'ra,

munosabat xosil bo'ladi. Yuqoridagi munosabatdan, (4) formulaga ko'ra, (6) formula to'g'riligi kelib chiqadi.
3-teorema. Agar 1) va yoki 2) , , va da bo'lsa, u xolda
⁽⁷⁾
tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot. 1) bo'lsin, u xolda tarifga ko’ra

munosabatni xosil qilamiz. Bu tenglikka Dirixle formulasini qo'llaymiz va ichki integralda almashtirish bajarsak,

munosabat kelib chiqadi.
2) bo'lsin. Teorema shartiga ko'ra bo'lganligi uchun _{kasr tartibli hosila mavjud va uni ko'rinishda yozib olamiz. Bu ifodaga Mellin integral almashtirishini qo'llaymiz va hosil bo'lgan ifodani bo'laklab integrallaymiz:} Bundan esa teorema shartiga ko'ra,

munosabat xosil bo'ladi. Yuqoridagi munosabatdan, (4) formulaga ko'ra, (7) formula to'g'riligi kelib chiqadi.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. O’rinov A.Q. Maxsus funksiyalar va maxsus operatorlar. Farg’ona: “Farg’ona” nashryoti, 2012.-112 b.
2. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальних функций.
Минск: “Наука”, 1978.-312 c.