Kassini avvallari va bernulli lemniskatasi kassini oval cassini oval. Ekvivalent qutb tenglamasi

Ekvivalent qutb tenglamasi

Shakl

Ba'zi Kassini tasvirlari. (b =0.6a,0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a)
Egri chiziq o'xshashlikka bog'liq e = b/a. Qachon e <1, egri chiziq uzilgan ikkita tsikldan iborat bo'lib, ularning har biri fokusni o'z ichiga oladi. Qachon e = 1, egri chiziq Bernulli lemnitsati a bilan sakkizinchi shakl shakliga ega ikki nuqta (xususan, a krunod) kelib chiqishi bo'yicha.^[2][3]Qachon e > 1, egri chiziq ikkala fokusni qamrab oluvchi bitta, bog'langan halqa. U yerfıstığı shaklida  va uchun konveks  .^[4]Ning cheklovchi ishi a → 0 (shuning uchun e →  ), bu holda fokuslar bir-biriga to'g'ri keladi, a doira.
Egri har doim ega x-± da tushunchalarv qayerda v² = a² + b². Qachon e <1 ikkita qo'shimcha real mavjud x- tushunchalar va qachon e > 1 ikkitasi haqiqiy y- tushunchalar, qolganlari x va y- tasavvurlar.^[5]
Egri chiziqning ikkita nuqtasi bor abadiylikda aylana nuqtalari, boshqacha qilib aytganda egri chiziq ikki doirali. Ushbu nuqtalar biflecnodlardir, ya'ni egri chiziqning ikkita nuqtasi bor va bu egrilikning har bir shoxida u erda egilish nuqtasi mavjud. Ushbu ma'lumotdan va Plukerning formulalari ish uchun Plücker raqamlarini chiqarish mumkin e ≠ 1: daraja = 4, sinf = 8, tugunlar soni = 2, tirnoqlar soni = 0, juft teginishlar soni = 8, egilish nuqtalari soni = 12, tur = 1.^[6]
Dumaloq nuqtalardagi tangenslar tomonidan berilgan x ± iy = ± a () da haqiqiy kesishish nuqtalari bo'lgan± a, 0). Demak, fokuslar aslida Pluker tomonidan aniqlangan ma'noda fokuslardir.^[7] Dairesel nuqtalar egilish nuqtalari, shuning uchun ular uchta uchburchakdir. Qachon e ≠ 1 egri chiziq sakkizinchi sinfga ega, bu jami sakkizta haqiqiy fokus bo'lishi kerakligini anglatadi. Ulardan oltitasi ikkita uchta o'choqda hisobga olingan, qolgan ikkitasi esa
Shunday qilib, qo'shimcha fokuslar x- egri chiziqning ikkita halqasi bo'lganda va y- egri chiziq bitta tsiklga ega bo'lganda.^[8]
Kassini tasvirlari va ortogonal traektoriyalar

Kassini tasvirlari va ularning ortogonal traektoriyalari (giperbolalar)
Ortogonal traektoriyalar berilgan qalam egri chiziqlar - barcha berilgan egri chiziqlarni ortogonal ravishda kesib o'tuvchi egri chiziqlar. Masalan, ning qalamining ortogonal traektoriyalari konfokal ellipslar bir xil fokusga ega bo'lgan konfokal giperbolalar. Kassini tasvirlari uchun quyidagilar mavjud:

• 
  The ortogonal traektoriyalar fokusli Kassini egri chiziqlarining  ular teng qirrali giperbolalar o'z ichiga olgan  Kassini tasvirlari bilan bir xil markazda (rasmga qarang).
  

Isbot:
Oddiylik uchun birini tanlaydi  .
Kassini tasvirlari tenglamasiga ega

The teng qirrali giperbolalar (ularning asimptotalari to'rtburchaklar shaklida) o'z ichiga oladi  markaz bilan  tenglama bilan tavsiflanishi mumkin

Ushbu konusning kesimlarida umumiy y o'qi bilan nuqta yo'q va x o'qi bilan kesishgan  . Ularning diskriminantlar bu egri chiziqlarning giperbolalar ekanligini ko'rsating. Batafsilroq tekshirishda giperbolalarning to'rtburchaklar shakli borligi aniqlanadi. Parametrdan mustaqil bo'lgan normallarni olish uchun  quyidagi yashirin vakillik qulayroq:
ddiy hisoblash shuni ko'rsatadiki  Barcha uchun  . Shuning uchun Kassini ovallari va giperbolalari ortogonal ravishda kesishadi.
Izoh:
Kassini tasvirlari va giperbolalari tasvirlangan rasmga o'xshaydi potentsial ikkiga teng egri chiziqlar nuqta zaryadlari hosil bo'lgan elektr maydonining chiziqlari bilan birgalikda. Ammo ikkita teng nuqtali zaryadning potentsiali uchun bitta mavjud  . (Qarang yopiq egri chiziq.)
Misollar
Ikkinchisi Mandelbrot to'plamining lemnitsati tenglama bilan aniqlangan Kassini ovalidir  . Uning markazlari nuqtalarda v har bir ikkinchi qiymati bo'lgan orbitalari bo'lgan murakkab tekislikda z 0 va -1 qiymatlari bo'lgan nolga teng.
Torida oval tasvirlar

Kassini ovallari torusning tekis qismlari sifatida 
(o'ngdagi torus a mil torusi)
Kassini tasvirlari planar kesim shaklida ko'rinadi tori, lekin faqat qachon

• 
  chiqib ketish tekisligi torus o'qiga parallel va uning o'qga bo'lgan masofasi hosil qiluvchi aylananing radiusiga teng (rasmga qarang).
  

Torusning tenglama bilan kesishishi
va samolyot  hosil
Birinchi qavsni qisman echgandan so'ng, tenglama olinadi
bu Kassini ovalining parametrlari bilan tenglamasi  .
Umumlashtirish
Kassini uslubini o'zboshimchalik bilan aniqlovchi nuqtalar to'plami bilan egri chiziqlar va sirtlarni umumlashtirish oson:

• 
  planar holatda tasvirlaydi an yopiq egri chiziq va 3 fazoda an yashirin sirt.
  

• 
  
  

3 ta aniqlovchi nuqta bilan egri chiziq

• 
  
  

6 ta aniqlovchi nuqta bo'lgan sirt
Shuningdek qarang

• 
  Ikki markazli bipolyar koordinatalar