Категория: Математика

• 
  a vektorlar
  

Категория: Математика19.10.2018 10:09

Fazoda vektor kattaliklarning ma'nosi:koordita o'qlaridagi birlik vektorlarni bilish, koordinatalari berilgan vektorlar ustida chiziqli amallarni bajarish

Просмотр содержимого документа

«Fazoda vektorlar»

Aim.uz

Fazoda vektorlar. Vektorlar ustida amallar.

Reja:

Fazoda vektorlar.

Vektorlar ustida amallar.

FAZODA VEKTORLAR.

Fazoda, tekislikdagi singari, vektor deb yo`naltirilgan kesmaga aytiladi. Fazoda vektorlar uchun asosiy tushunchalar: vektorning absolyut kattaligi (moduli), vektorning yo`nalishi, vektorlarning tengligi tekislikdagi singari ta`riflanadi.

Boshi A1 (x1; y1; z1) nuqtada va oxirida A2 (x2; y2; z2) nuqtada bo`lgan vektorning koordinatalari deb x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 sonlarga aytiladi. Xuddi tekislikdagi singari teng vektorlarning mos koordinatalari teng ekani va aksincha, mos koordinatalari teng vektorlarning tengligi isbotlanadi. Bu esa vektorni uning koordinatalari bilan ifodalashga asos bo`ladi: yoki soddaroq .

Masala (50). To`rtta nuqta berilgan: A (2; 7; -3), B (;1 0; 3), C (-3; -4; 5),

D (-2,; 3; -1). va vektorlar orasidagi teng vektorlarni ko`rsating.

Yechilishi: ko`rsatilgan … vektorlar koordinatalarini topish va mos koordinatalarni taqqoslash kerak. Teng vektorlarning mos koordinatalari teng. Masalan, vektorning koordinatalari: 1 – 2=-1, 0 – 7=-7, 3 – (-3)=6. vektorning koordinatalari ham xuddi shunday: -3 – (-2)=1, -4 – 3=-7, 5 – (-1)=6. shunday qilib, , vektorlar teng. Teng veltorlarning yana bir jufti dan iborat.

FAZODA VEKTORLAR USTIDA AMALLAR

Vektorlar ustida amallar: qo`shish, songa ko`paytirish va skalyar ko`paytirish amallari xuddi tekislikdagidek ta`riflanadi.

va vektorlarning yig`indisi deb c(a1+b1; a2+b2; a3+b3) vektorga aytiladi.

vektor tenglik huddi tekislikdagiudek isbotlanadi.

vektorning songa ko`paytmasi vektorlarga aytiladi.

Tekislikda isbot qilingan singari, bu yerda ham vektorning moduli ga tengligi, yo`nalishi esa uchun vektorning yo`nalishi bilan bir xil va uchun esa vektorning yo`nalishiga teskari bo`lishi isbotlanadi.

Masala (54). (1, 2, 3) vector berilgan. Boshi A (1, 1, 1) nuqtada va oxirida xy tekislikdagi B nuqtada bo`lgan unga kollinear vektorni toping.

Yechilishi: B nuqtaning z koordinatasi nolga teng vektorning koordinatalari. x – 1, y – 1, 0 – 1= -1. va vektorlarning kollenearligidan.

Proporsiyani hosil qilamiz. Bundan B nuqtaning x,y koordinatalarini topamiz:

va vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb a1b1+a2+b2+a3+b3ga teng songa aytiladi. Vektorlarning skalyar ko`paytmasi ularning modullarini vektorlar orasidagi burchak kosinusiga ko`paytmasiga teng ekani xuddi tekislikdagidek isbotlandi.

Masala (59). To`rtta nuqta berilgan: A (0; 1; -1), B (1; -1; 2), C (3; 1; 0), D (2; -3; 1).

va vektorlar orasidagi burchakning kosinusini toping.

Yechilishi. vektorning koordinatalari quyidagilar bo`ladi.

1 – 0=1, -1 – 1=-2, 2 – (-1)=3;

vektorning koordinatalari:

2 – 3=-1, -3 – 1=-4, 1 – 0=1;

Demak,

Nazorat savollari.

1. Fazoda nuqtaning koordinatalari qanday aniqlanishini tushuntiring.

2. Ikki nuqta orasidagi masofani ularning koordinatalari orqali ifodalang.

3. Kesma o`rtasining koordinatalarini kesma oxirlarining koordinatalari orqali ifodalovchi formulalarni chiqaring. 4. Nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirish nima? Markaziy" simmetrik figura deb qanday figuraga aytiladi?

Tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish nima ekanini tushuntiring. Figuraning simmetriya tekisligi nima? figurani qanday almashtirish harakat deyiladi?

5. Fazodagi xarakat tekislikni tekislikka o`tkazishini isbotlang.

6. Fazoda qanday figuralar teng deyiladi?

7. Parallel kuchirnshning ta'rifini ayting.

8. Parallel ko`chirishning xossalarini aytib o`ting.

9. Fazoda parallel ko`chirishda xar bir tekislik o`z-o`ziga yoki parallel tekislikka o`tishini isbotlang.

10. O`xshashlik almashtirishi nima? Uning xossalarini sanab o`ting.

11. Qanday almashtirish gomotetiya deyiladi? Fazoda gomotetik almashtirish gomotetiya markazidan o`tmagan istagan tekislikni parallel tekislikka (yoki o`ziga) o`tkazishini isbotlang.

12. Ayqash to`g`ri chiziqlar orasidagi burchakning ta'rifini ayting.

13. To`g`ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakka ta'rif bering.

14. Tekisliklar orasidagi burchakka ta'rif bering. Ko`pburchakning tekislikka ortogonal proeksiyasining yuzi uning yuzining ko`pburchak yuzi bilan uning proeksiyam tekisligi orasidagi burchakning kosinusiga ko`paytmasiga teng bo`lishini, isbotlang.

15. Vektorning absolyut kattaligi nima? Qanday vektorlar bir xil yo`nalgan vektorlar deyiladi?

16. Boshi A1 (x1; y1; z1) va oxiri A2 (x2, y2; z2) nuqtada bo`lgan vektorning koordinatalariga ta'rif bering.

17. Vektorlar ustida bajariladigan: qo`shish, songa ko`paytirish, skalyar ko`paytirish amallarini ta`riflang.

MASALALAR

1. va vektorlar berilgan m va n ning qanday qiymatlarida bu vektorlar kollinear bo`ladi?

2. a (1;-2; 3) vektor berilgan. Boshi A (1; 1; 1) nuqtada va oxiri xy tekislikdagi B nuqtada bo`lgan unga kollinear vektorni toping.

3. n ning qanday qiymatlarida berilgan vektorlar perpendikulyar bo`ladi:

4. Uchta nuqta berilgan: A (1; 0; 1), B ( -1; 1; 2), C(0; 2;- 1). z nuqda shunday

D (0; 0; c) nuqtani topingki, va vektorlar perpendikulyar bo`lsin.

5*. a va b vektorlar 60° li burchak tashkil etadi, c vektor esa ularga perpendikulyar a+b+c vektorning modulini toping.

6*. Birlik uzuunlikdagi a, b, c vektorlar juft – jufti bilan 60° li burchak tashkil etadi.

1) a va b+c; 2) a va b-c vektorlar orasidagi burchakni toping.

Irratsional funksiyalarni integrallash

Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichlida rajalari ishtirok etgan algebraic ifodadan iborat bo’lsa, uirratsional funksiya deb ataladi. Masalan:

, , lar irratsional funksiyalardir.

Ha rqan dayirratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.

dx integral binomial integral deb ataladi. Bu yerdar,s,p-ratsionalvaa,b-haqiqiysonlardaniborat. Agar r,s,psonlarninguchalasi ham butun son bo’sa, unda integral ostidaratsionalfunksiyabo’ladivabuholda, binomial integral elementarfunkisiyalardaifodalanadi. Agar r,s,psonlardankamidabittasibutun son bo’lmasa, u holda integral ostidairratsionalfunksiyahosilbo’ladi. Bunda binomial integral faqatquyidagiuchholdaelementarfunksiyalardaifodalanishimumkin.

1) p –butun son. Bu holda,, almashtirish qilinadi. Bu yerda m integral ostidagi r va s sonlarining umumiy maxraji. Agar , deb olsak, unda =, , bo’ladi va binomial integral

ko’rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.

2) butun son. Bu holda bo’lsa, unda almashtirishdanfoydalaniladi.Bunda (a+bxs)p=tk, xr=dt bo’lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:

dt.

butun son. Bu holda p= bo’lsa, unda+b= almashtirish qilinadi.

Bunda, , ,

bo’ladiva binomial integral quyidagiratsionalkasrliintegralgakeladi:

Navbatda integralni qaraymiz.Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin., almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagifunksiya t ningratsionalfunksiyasidaniboartbo’ladi. Endi

ko’rinishdagiintegralniqaraymiz. Bu integral

almashtirishbilanratsionalfunksiyaniintegrallashgakeltiriladi. Bu yerda k soni kasrlarning umumiy maxraji.

Ba’zihollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi.Bunday integrallarEyleralmashtirishlari deb ataluvchiquyidagialmashtirishlaryordamidaratsionalfunksiyaniintegrallashgakeltiriladi.

I. Eylerningbirinchialmashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. U holda,

+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi.Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.

II. Eylerningikkinchialmashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. (aniqlikuchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ()2=()2, Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.

. Shunday qilib, va lar orqali ratsionalifodalanganiuchun x, dx va larning t orqaliifodalariniberilganintegralgaqo’yib t ganisbatanratsionalfunksiyaningintegraligakelamiz.

III. Eylerninguchinchialmashtirishi. Aytaylikva lar uchxadning haqiqiyildizlaribo’lsin.

= deb olamiz. U holda, ++c=(x-)(x-) bo’lgani uchun =, (x-)(x-)2t2,

(x-)=2bo’ladi.Bundanesani hosil qilamiz. x, dx va lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.

Ba’zibirirratsionalfunksiyalarnitrigonometrikalmashtirishlaryordamida ham hisoblashmumkin.

integralni qaraymiz. Bu yerda ao va deb olamiz.

Ildizostidagiuchhadningko’rinishinio’zgartiramiz.

=a2+, deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularningqiymatlarigaqarab, ba’zibirbelgilashlardanso’ngberilgan integral quyidagiintegrallardanbirigakeltiriladi.

I. ,

,

III..

Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali

integralni hisoblashga keltiriladi.