Катта сонлар қонуни

Биномиал тақсимот
Фараз қиламизки, бази бир тасодифи ҳодиса га нисбатан n маротиба бир-бирига боғлик бўлмаган синовлар ўтказилган, шу шарт билан ким ҳар бир тажрибада ҳодисани юз бериш эҳтимоли р доимий. Бунда фақат икки хил натижа юз бериши мумкин: ҳодисани юз бериши ёки унга тескари ҳодиса доимий эҳтимоллик q билан юз бериши мумкинлиги, бунда p+q=1. Бу шартда ходиса m маротиба содир бўлса эса n-m маротиба ҳосил бўлади. Бу ҳодисаларни ҳар қайсисини юз бериш эҳтимоли уларни қайси навбатда содир бўлишидан боғлик бўлмаган ҳолда ифодани биномиал коэффициент га кўпайтмаси шаклида ёзиш мумкин:

.

Бу формула (Бернулли формуласи) n та тасодифий олинган эҳтимолликдан m та кутиш мумкин бўлган ҳодисани эҳтимолини ҳисоблашини имкониятини беради.

Мисол. 5 та туғилган боладан 0,1,2,3,4,5 сини ўғил бола туғилиш эҳтимоли ҳисоблансин.
Ҳар бир синовда ўғил болани туғилиш эҳтимоли ёки қиз болани туғилиш эҳтимоли бир хел 0.5 га тенг.
Аммо 5 та туғилган бола ичида бирорта ҳам ўғил бола бўлмаслик эҳтимоли:

5 тадан 1 таси ўғил бола бўлиш эҳтимоли:

Худий шундай:




Бу ҳисоб китоблардан ушбу шартни текшириш мумкин: . Бу ҳисобланган эҳтимоликлар тўплами: биномиал тақсимотни ташкил қилади. Биномиал таксимот бирор бир А ходисани маротиба синов ўтказилгандаги содир бўлиш ёки бўлмаслик эҳтимолликлар қийматларини қатордаги жойланишига айтилади.
Кўрсатиш мумкин:

Мисол учун n=2 бўлганда натижа қўйидагича бўлиши мумкин: Синовлар натижаси натижалар эҳтимоли ёки n=3 бўлганда ўтказилган ўзаро боғлик бўлган синовда эҳтимоликлари қўйидагича тақсимланиши мумкин:
ва хоказо.
Бу ердан келиб чиқадики биномиал тақсимот қонуни на фақат Бернулли формуласи орқали балким Ньютон биноми орқали ҳам ёзиш мумкин:

Биномиал эгрилик графигини умумий ҳол кўриниши қўйидагича бўлиши мумкин: