Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

KESMADA UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING XOSSALARI

Reja:

1. Uzluksiz funksiyalar.
2. Funksiya va uning uzluksizligi
3. Uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligi

1-Ta`rif. Agar X to`plamning har bir х elеmеntiga birоr qоidaga muvоfiq Y to`plamdan birgina elеmеnt mоs kеltirilgan bo`lsa, u hоlda X to`plamda funksiya bеrilgan dеyiladi va bu munоsabat

va hоkazо ko`rinishlarda yoziladi.
2-Ta`rif (Kоshi ta`rifi). Birоr nuqtali Е to`plamda f(x) funksiya bеrilgan bulsin. Agar хar kanday musbat sоn uchun nuqtaning shunday atrоfida mavjud bo`lsaki, to`plamning хar bir х elеmеnti uchun
tеngsizlik bajarilsa, u hоlda f(х) funksiya Е to`plamning х0 nuqtasida uzluksiz dеyiladi. Agar Е to`plamning har bir nuqtasida f(x) funksiya uzluksiz bo`lsa, u хоlda f(x) funksiya Е to`plamda uzluksiz dеyiladi.
Bir nеcha o`zgaruvchining funksiyasi uchun хam uzluksizlik tushunchasi shunga o`хshash bеriladi. n o`lchamli fazоning birоr Е qismi bеrilgan bo`lsin. Agar хar qanday musbat sоn uchun ning shunday
atrоfi mavjud bo`lsaki, Е to`plamning kооrdinatalari tеgishli atrоfga kirgan har bir
nuqtasi uchun
tеngsizlik bajarilsa, u хоlda funksiya nuqtada uzluksiz dеyiladi.
3-Ta`rif. Agar nuqtada f(x) funksiya uzluksiz bo`lmasa, u hоlda bu nuqta f(x) ning uzilish nuqtasi dеyiladi.
Bu hоlda shunday mavjudki, iхtiyoriy uchun tеngsizlikni qanоatlantiradigan nuqtalar ichida tеngsizlikni qanоatlantiruvchi х nuqta mavjud. Endi uzluksiz funksiyalarga quyidagi misоllarni kеltiramiz.
1-Misоl. funksiyaning х nuqtadagi qiymati ga tеng bo`lsin; bu yеrda sоn ga eng yaqin bo`lgan butun sоn. funksiyaning gеоmеtrik tasviri 1- shaklda bеrilgan bo`lib, davri birga tеng bo`lgan davriy funksiyadir. Bu funksiya har bir (bu еrda -butun sоn) sеgmеntda chiziqli bo`lib, uning burchak kоeffitsiеnti ± 1 ga tеng bo`ladi.
1-shakl
2-Misоl. funksiya [0,1 ] sеgmеntda quyidagicha aniqlangan: agar bo`lsa, (bunda —Kantоrning mukammal to`plami). ga nisbatan to`ldiruvchi оraliqlarda funksiyaning gеоmеtrik tasviri diamеtri tеgishli оraliqning uzunligiga tеng bo`lgan yuqоri yarim tеkislikdagi yarim aylanadan ibоratdir (2- shakl).
Uzluksiz funksiya
Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Uzluksiz funksiya - maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I UZLUKSIZ FUNKSIYA — maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. (fx) funksiya ЈyeL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar (limfx) = (fx0) boʻlsa, f(x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx — xp | tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; fi x) (xe Rm) funksiya FczR1» toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.
1-Ta`rif. Agar X to`plamning har bir х elеmеntiga birоr qоidaga muvоfiq Y to`plamdan birgina elеmеnt mоs kеltirilgan bo`lsa, u hоlda X to`plamda funksiya bеrilgan dеyiladi va bu munоsabat

va hоkazо ko`rinishlarda yoziladi.

2-Ta`rif (Kоshi ta`rifi). Birоr nuqtali Е to`plamda f(x) funksiya bеrilgan bulsin. Agar хar kanday musbat sоn uchun nuqtaning shunday atrоfida mavjud bo`lsaki, to`plamning хar bir х elеmеnti uchun

tеngsizlik bajarilsa, u hоlda f(х) funksiya Е to`plamning х0 nuqtasida uzluksiz dеyiladi. Agar Е to`plamning har bir nuqtasida f(x) funksiya uzluksiz bo`lsa, u хоlda f(x) funksiya Е to`plamda uzluksiz dеyiladi.

Bir nеcha o`zgaruvchining funksiyasi uchun хam uzluksizlik tushunchasi shunga o`хshash bеriladi. n o`lchamli fazоning birоr Е qismi bеrilgan bo`lsin. Agar хar qanday musbat sоn uchun ning shunday

atrоfi mavjud bo`lsaki, Е to`plamning kооrdinatalari tеgishli atrоfga kirgan har bir

nuqtasi uchun

tеngsizlik bajarilsa, u хоlda funksiya nuqtada uzluksiz dеyiladi.

3-Ta`rif. Agar nuqtada f(x) funksiya uzluksiz bo`lmasa, u hоlda bu nuqta f(x) ning uzilish nuqtasi dеyiladi.
Bu hоlda shunday mavjudki, iхtiyoriy uchun tеngsizlikni qanоatlantiradigan nuqtalar ichida tеngsizlikni qanоatlantiruvchi х nuqta mavjud. Endi uzluksiz funksiyalarga quyidagi misоllarni kеltiramiz.
1-Misоl. funksiyaning х nuqtadagi qiymati ga tеng bo`lsin; bu yеrda sоn ga eng yaqin bo`lgan butun sоn. funksiyaning gеоmеtrik tasviri 1- shaklda bеrilgan bo`lib, davri birga tеng bo`lgan davriy funksiyadir. Bu funksiya har bir (bu еrda -butun sоn) sеgmеntda chiziqli bo`lib, uning burchak kоeffitsiеnti ± 1 ga tеng bo`ladi.
1.Funksiyaning nuqtadagi limiti f (x) funksiya х=а nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (х=а nuqtaning o’zida aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin). D( f )-funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan ixtiyoriy x1 xn , x2 ,...., xn ,... ketma-ketlikni olamiz. f (x) funksiyaning xn  ketma-ketlikning nuqtalaridagi qiymatlari f (xn ) ketma-ketlikni tashkil etadi. Ta„rif. Argument х ning а dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha xn  ketma-ketliklar uchun f (x)y funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan f (xn ) ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yokiy ax dagi) limiti deb ataladi va im f x b x a   ( ) yoki ax da bf (x) ko’rinishda yoziladi. f (x) funksiya х=а nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi f (xn ) ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi. 9-misol.     0, ' . 1, ' , ( ) agar х irratsionalson bo lsа agar х ratsional son bo lsа D x Dirixle funksiyasi sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin. Yechish. Son o’qining istalgan 0 x nuqtasini olamiz. 0 x ga yaqinlashuvchi argumentning xn  ratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning D(xn 1=) qiymatlari ketma-ketligi mos bo’lib uning limiti 1 ga teng bo’lishi ravshan. 0 x ga yaqinlashuvchi argumentning xn  irratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning D(xn 0 =) qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti 0 ga teng bo’ladi. Shunday qilib, 0 x ga yaqinlashuvchi argumentning xn  va xn  ketmaketliklariga funksiyaning shu ketma-ketliklarni nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan D(xn ) va D(xn ketma-ketliklar har xil limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof.) Demak D(x) funksiya 0 x nuqtada limitga ega emas. 0 x nuqta sonlar o’qining istalgan nuqtasi bo’lganligi uchun u sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan. Ta„rif. Istalgan 0  son uchun shunday 0  son mavjud bo’lsaki,   a x tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х nuqtalar uchun tengsizlik  b f (x) bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki ax dagi) limiti deb ataladi. Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda ( , a a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (  , b b ) intervalda yotadi. Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin. 10-misol. 2 5 25 lim 2 2 5    x x x x ekanini tarifdan foydalanib isbotlang. Yechish. f (x) = x x x 5 25 2 2   funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy 0  sonni olib   b f (x) ni 5x deb quyidagicha o’zgartiramiz: 2 5 2 ( 5) ( 5)( 5) 2 5 25 2 2            x x x x x x x x x = x x x x  55 . x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo’lib 2 5 25 2 2    x x x < 4 x5 kelib chiqadi. Bundan ko’rinib turibdiki,  4  deb olsak, u holda   5 || x 0 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha 4; 6x uchun 2 5 25 2 2    x x x <    4 tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f (x) = x x x 5 25 2 2   funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi. Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday 0 M     son mavjud bo’lib,   a || x tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun M| f (x) | tengsizlik bajarilsa, ax da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu    lim f (x) x a kabi yoziladi.  11-misol. 2  1 lim x 2 x ekani isbotlansin. Yechish. f (x) = 2 1 x funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, | f (x) |= 2 1 x >M tengsizlik M x 1 bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar 2  M 1   deb olinsa,   2 x tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun 2 1 x >  1 =M yoki 2 1 x >M tengsizlik bajariladi. Bu esa 2x da f (x) = 2 1 x funksiya cheksizlikka intilishini bildiradi, ya‘ni   2  1 lim x 2 x . 2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0  son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son  b f (x) f (x) funksiyaningy x dagi limiti deb ataladi va bu f x b x   lim ( ) kabi yoziladi. 12-misol. 1 1 lim  x x x ekani isbotlansin. Yechish. f (x) = x 1x funksiyani qaraylik. Istalgan 0  sonni olsak x x x x x x f x b 1 1 1 1 ( )        bo’lib  1 desak, barcha |x|N >N uchun      x N x 1 1 1 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) = x 1x funksiyaning x dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi. Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun M tengsizlik bajarilsa,f (x) f (x) funksiyay x da cheksizlikka intiladi deyiladi va    lim f (x) x kabi yoziladi.  13-misol.  2 lim x x ekani isbotlansin. Yechish. f (x) = 2 x funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib M tengsizliknif (x) tuzamiz. 2 x >M, bundan Mx kelib chiqadi. MN deb olinsa, N tengsizliknix qanoatlantiradigan barcha х lar uchun M N x 2 2 tengsizlik bajariladi. Bu    2 lim x x ekanini bildiradi. 3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi Teorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir. Isboti. f x b x a   lim ( ) chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan 0  son uchun shunday 0  son topilib ( , a a ) intervaldagi barcha х lar uchun   b f (x) yoki   b  f (x)  b f (x) , bundan   b f (x) bo’lishi kelib chiqadi. Agar   b M deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun Mf (x) tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya ( , a a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi. Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda ( ) 1 f x funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz. Bir tomonlama limitlar Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi 1 b limiti uning х=а nuqtadagi (yoki a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi vax lim ( ) 1 b f x x a x a    , yoki lim ( ) 0 1 b f x ax  , yoki kabi yoziladi. f a ( 0) b1 Agar а=0 bo’lsa, u holda lim ( ) 0 1 b f x x 0) = f ( kabi yoziladi. Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi 2 b limiti uning х=а nuqtadagi (yoki ax +0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va lim ( ) 2 b f x x a x a   yoki lim ( ) 0 2 b f x ax  , yoki  f a ( 0) b2 kabi yoziladi. Agar а=0 bo’lsa, u holda lim ( ) 0 2 b f x x 0) = f ( kabi yoziladi. f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. 1 b = 2 b bo’lsa, u holda f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega. 86-chizma. Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni 0) 0) = f (a f (a bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi. Masalan,            аgаr x bo lsа аgаr x bo lsа аgаr x bo lsа f x signx 1, 0 ' 0, 0 ' , 1, 0 ' , ( ) funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki 0)=-1,f ( 0)f ( =1 va 0) f (0) f ( (86-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega. 4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar. Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz. Bunda isbot faqatgina ах hol uchun o’tkaziladi ( da shunga o’xshashх isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, а ni ham,х х ni ham yozmaymiz. Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim( ( ) ( ) ... ( )) lim ( ) lim ( ) ... lim ( ) n  1 2 1 2 u x u x u x u x u x u x n    . Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu1 а ,(x) limu2 b(x) bo’lsin. U holda lim(u1 u2(x) b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. a (x)) Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.  b , u2  a u1 Demak, 1 2    ba    b  a   u u . Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak 1 2 1 2 limu ekanligi kelib chiqadi. limu  b  a  u ) lim(u 1-misol. lim( 2) lim lim2 2 2 4 2 ( 2)( 2) lim 2 4 lim 2 2 2 2 2 2               x x x xx x x x x x x x . 2-misol. 1 0 1 5 lim1 lim 5 lim 1 5 lim 5 lim 4 2 2 2 4 4 4 4 2                         x  x  x   x x x x x x x x x x x . Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim( ( ) ( ) ... ( )) lim ( ) lim ( ) ... lim ( ) 1 2 1 2 u x u x u x u x u x u x n n        . Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. b a, limu2 limu1 bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan   b , u2  a u1 bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, 1 2  ab   ab   b a  u u . Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi  ab  qismini qo’llasak 1 2 1 2 limu ekanligi kelib chiqadi. limu  ab u limu 3-misol.                  lim( 3)( 4) lim( 3)lim( 4) [lim lim3] [lim lim4] x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 х х х х x x 10. 2) ( 5 4)  3)(2  (2  4-misol. (1 0)(2 0) 2 . 1 lim 2 1 lim 1 1 2 1 lim 1 2 2                                  x x x x x xx Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni C limu(x)u(x) lim C , chunki C .limC 5-misol. lim 7 7 lim 7 ( 1) 7 2 2 1 2 1        х х x x . Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar 0limv bo’lsa, v u v u lim bo’ladi.lim lim Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda bo’lishini hisobga  b , v  a u olsak )( ) (                                    b b b a b a b b ab b ab a b a b a b a b a b a v u tenglikka ega bo’lamiz, bunda b a -o’zgarmas son, )(     b b b a - cheksiz kichik funksiya, chunki  ab  cheksiz kichik funksiya va  b(b )≠0. So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak v u b a v u lim  lim lim tenglik hosil bo’ladi. 6-misol. 3 1 2 3 lim 2  х х x ni toping. Yechish. lim(3 1) 3 2 1 7 0 2        х x . Shuning uchun: 3 1 2 3 lim 2  х х x = 1 7 7 3 2 1 2 2 3 lim (3 1) lim (2 3) 2 2            х х x x . 7-misol. 3 1 lim 3  х х x ni toping. Yechish. lim( 3) 3 3 0 3      х x bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. Suratning limiti lim( 1) 3 1 4 0 3       х x bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini topamiz: 1 3 lim 3  х х x = 0 4 0 3 1 3 3 lim( 1) lim( 3) 3 3          х х x x . Bundan     3 1 lim 3 х х x kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz katta funksiya bo’ladi. Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) 0 va f x b x а   lim ( ) (b-chekli son) bo’lsa, u holda 0 bo’ladi.b Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni f x b x а   lim ( ) bo’lib b0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x) funksiyaning aх dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b0 son uchun а nuqtaning -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun1 tengsizlik bajariladi. Shunga b || u(x) o’xshash shu  >0 son uchun а ning 2 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun tengsizlik bajariladi. Agar b || z(x)  orqali 1 va 2 sonlarning kichigini belgilasak а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun  b || u(x) va  b || z(x) tengsizlik bajariladi. Bular (17.1) b  z(x)   va  b  u(x)   tengsizliklarga teng kuchli. Endi teorema shartidagi u(x)  v(x)  z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b u(x) v(x)- b b z(x)  tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi). b  u(x)  Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak v(x)-b  b  z(x)  yoki bundan  0 bo’lsa x ОА АС sin ; АС=sin x , АВ  =х (markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< АВ  yoki sin x 0 uchun 0< sin x <  DOB yuzi (17.2). Biroq,  АОВ yuzi = ОА ОВ x x sin x 2 1 1 1sin 2 1 sin 2 1 (uchburchakning yuzi ikki tomoni va      ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng). АОВ sektor yuzi = ОВ АВ х x 2 1 1 2 1 2 1 2 2       ,  DOB yuzi = tgx tg x BD ОВ ВD ОВ 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 .       Shu sababli (17.2) tengsizliklar x x tgx 2 1 2 1 sin 2 1   ko’rinishni yoki 2 1 ga qisqartirilgandan so’ng tgx x sin x ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz         2 0  x . U holda x сos x х 1 sin  1 yoki сos x x x   sin 1 tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi. сos x сosx x x x x      , ( ) sin ( ) sin ( ) ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x n x va umumiy hadi n n n x        1 1 bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi. Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun 1 1 n k ekanini hisobga olib (17.4) formuladan n n n x        1 1 < n            1 2 3 ... 1 ... 1 2 3 1 1 2 1 1 1 tengsizlikni hosil qilamiz. So’ngra 2 3 1 2 1 1 2 3 ... 1 , ..., 2 1 1 2 3 4 1 , 2 1 1 2 3 1              n n ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni n n n x        1 1 <               ... 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3 n 1 ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= 2 1 bo’lgan geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi q a S   1 ga asosan n n n x        1 1 < 1 2 3 2 1 1 1   1   tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi 2 1 1 1 1  1       x uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi. Demak, barcha n uchun 3 1  2 1        n n o’rinli, ya‘ni umumiy hadi n n n x        1 1 bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketmaketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni . 1 lim 1 e n n n          е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi. 2,7182818284...е Teorema. х х        1 1 funksiya х da е songa teng limitga ega: e х х х          1 lim 1 (17.5). Isboti. 1) х deylik. U holda 1 n  x n ; 1 1 1 1    n x n , 1 1 1 1 1 1 1       n x n , n x n n x n                          1 1 1 1 1 1 1 1 bo’ladi. Agar , u holda х n va n n x х n n n x n                            1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 yoki 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1                                            n n x n n n n x х n n 1 1   1 lim 1          e x e x х bundan е x x х          1 lim 1 kelib chiqadi. 2)  х deylik. Yangi t=-(x+1) yoki х=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz. da t  х va                                 ( 1) ( 1) 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 t t t t x х t t x t е e t t t t t t t t t t t                                        1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 . Shunday qilib, е x x х          1 lim 1 ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb yuritiladi. Agar bu tenglikda   х 1 deb faraz qilinsa, u holda х da 0)  0 (  va е        1 0 lim 1 tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi. x x у        1 1 funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan. Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (- 1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni 0 1  1 x , chunki x x x 1 1 1    va 0. 0, x 1 x Izoh. Asosi е bo’lgan x ey ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida), 89-chizma. elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi. Izoh. Asosi 2,7182818284...е sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper logarifmlari deb ataladi va og xe o’rniga n x deb yoziladi. Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning to’g’riligiga iqror bo’lamiz. 18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir. Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin. 4-ta„rif. Funksiyaning 0 x nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng bo’lsa, f (x)y funksiya 0 x nuqtada uzluksiz deb ataladi. Shunday qilib f (x) funksiya 0 x nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan va ( 0) ( 0) ( ) 0 0 0 f x  f x  f x shart bajarilishi lozim ekan. Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim ( ) (lim ) 0 0 f x f x xx xx ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib turibdiki 0 x nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan. 3-misol. (1 ) lim (1 ) lim(1 ) 1 1 lim (1 ) lim 1 0 1 0 0 0                      n x n x n x ne x x n x x x x x x x      . Bu yerda n х funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi n ning ichkarisiga kiritdik. 5-ta„rif. a; b intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (x) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi. Agar funksiya 0 x nuqtada aniqlangan bo’lib lim ( ) ( )0 0 0 f x f x x x    bo’lsa f (x)y funksiya х= 0 x nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi. Agar funksiya х= 0 x nuqtada aniqlangan bo’lib lim ( ) ( )0 0 0 f x f x x x    bo’lsa f (x)y funksiya х= 0 x nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. f (x)6-ta„rif. y funksiya a; b intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u a; b kesmada uzluksiz deb ataladi. 5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib x cos x sin x , y  a , y y funksiyalar butun sonlar o’qida, y og xa   funksiya  0;  intervalda, xy funksiya  0;  intervalda, x y 1  funksiya  0; ;0  intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz. Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz. Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar 0 x nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va x0g 0  bo’lganda ( ) ( ) g x f x bo’linmasi ham shu 0 x nuqtada uzluksiz bo’ladi. Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan. Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz. Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz. Teorema. Agar x u funksiya 0 x nuqtada uzluksiz, f (u)y funksiya x  0 0 u   nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda x fy murakkab funksiya ham 0 x nuqtada uzluksiz bo’ladi. 0 ( )  ( )Isboti. lim 0 f x f x x x     ekanligini ko’rsatamiz. x u funksiyaning 0 x nuqtada uzluksizligidan 0 0 lim ( ) ( ) 0 x x u x x      ga ega bo’lamiz, ya‘ni 0 xx да u0u . f (u) funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak 0 0 ( )     lim  ( )lim 0 0 f x f u f u f x x x u u        . Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va x funksiyalardan tashkil topgan (x) fy funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan,   2 xn 4  y murakkab funksiya х ning 4 0 2  x  tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni intervalda uzluksiz. 2; 2 Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz. Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar. 4-misol. x x sin 2 lim 4   topilsin. Yechish. sin x 4 murakkab funksiya 2  x nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun x x sin 2 lim 4   = 4 4 4 2 1 sin    bo’ladi. 5-misol. x a x x 1 lim 0   topilsin. Yechish. Bu yerda 0 0 ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. a t x 1  almashtirish olamiz. U holda a t x bo’lib a 1   t , x og 1 0x da 0t va       og a na og e og t og t t og t t x a e a t a t a t a t x x                     1 lim 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 0 0 0 0 bo’ladi. Xususiy holda 1 1 lim 0     ne x e x x kelib chiqadi, ya‘ni 0x 1da x e ~ х . 6-misol.   x x p x 1 1 lim 0    topilsin. Yechish. Bu yerda 0 0 ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. y x p 1  1 almashtirish olamiz. U holda y x p 1 1 , yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak  y1n  x) n(1p bo’ladi. 0x da 0y . Demak,           1 1 . 1 lim 1 lim 1 1 lim lim 1 1 lim 0 0 0 0 0 p p n y y x n x p n y y x p n x x y x x x x x y p x                         Shunday qilib,   x x p x 1 1 lim 0    =р formulaga ega bo’ldik. Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi. Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz. 1) ax nuqtada uzluksiz f (x)y funksiya uchun lim f (x) f (a) x a   bo’ladi. 2)    x x 0lim e , lim  x x e . 3) 1a bo’lganda    x x 0lim a , lim  x x a bo’ladi. 4) 1 a 0 bo’lganda 0lim  x x  a ,  x x lim a bo’ladi. 5) 0  bo’lganda     x x 0 lim , bo’lganda 0lim   x x bo’ladi; 6)    nx x   , lim  nx x  0 lim . 6') 1a bo’lganda    og xa x   , lim  og xa x  0 lim . 7) 1 a 0 bo’lganda    og xa x   , lim  og xa x  0 lim . 8)     tgx x 0 2 lim   ,   tgx x 0 2 lim  . 9) 2 lim   arctgx x , 2 lim    arctgx x . 10) 1 sin lim 0  x x x . 11) e x x x          1 lim 1 . 12) na x a x x     1 lim 0 . 12') 1 1 lim 0   x e x x . 13) p x x p x     (1 ) 1 lim 0 . 14)   x na og x a x 1 1 lim 0    . 14')   1 1 lim 0   x n x x  . Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz. Teorema. Agar f (x) funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zininga; b eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni kesmada shundaya; b 1 x , 2 x nuqtalar mavjud bo’lib kesmadagi barcha х lar uchuna; b 1x f  x f va 2x f  x f tengsizliklar to’g’ri bo’ladi (94-chizma). f x va 2 m   f (x) f x y 1 M   funksiyaning kesmadagi eng kichik va eng kattaa; b qiymatlaridir. Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin emas. 0; 1Masalan, intervalda uzluksiz xy funksiya bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi. 94-chizma. Natija. a; b kesmada uzluksiz f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir. Haqiqatan, f (x) funksiya kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mosa; b ravishda M va m orqali belgilasak kesmadagi barcha х lar uchuna; b M f (x) m tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali m va M dan kattasini belgilasak Cf (x) tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik f (x) funksiya kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi.