Kirish : Assosiy qism: Birinchi tur sirt integrallari

parametric ifodasini, u orqali esa - chiziqnikini

kiritib, oson tekshirish mumkin. U holda ikkala integral bitta o’sha parameter bo’yicha oddiy integralga keladi:

Endi (2) ni o’ng tomonidagi integralga Grin formulasini qo’llaymiz:

Oxirgi integral ostidagi ifodadan qyuidagini olamiz:

Endi buni (3) tenglikka qo’ysak, ushbu ikki karrali integralga kelamiz:

Ushbu

bu yerda (S) sirt tomoniga mos yo’naltiruvchi kosinuslar, formula ikkinchi va birinchi tur sirt integrallarini bog’lovchi umumiy formula bo’lib, bizga ma’lumki, sirtning tanlangan tomonini xarakterlovchi, yonaltiruvchi kosinuslar, quyidagi formulalar orqali aniqlanadi

Boshqa tomondan parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,

elementni ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu

O’ng tomonda, funksiyalarda o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb faraz qilinadi.

(4’) formulaga asosan,

ikki karrali integralni sirtni tanlangan tomoni bo’yicha olingan

sirt integraliga oson almashtirish mumkin. Shu bilan (1) tenglik isbotlandi.

Xuddi shunga o’xshash, quyidagi tengliklarni olamiz:

bu yerda – ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular funksiyaga qo’yilgan shartlarni qanoatlantiradi.

(1), va uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy ko’rinishdagi formulani olamiz:

Bu tenglik