Kirish. Asosiy qism. Sanoqsiz to ‘plamlar

2-Misol.Tekislikdagi hamma to ‘g ‘ri hiziqlar to ‘plami kesmaga ekvivalentdir.
Sonlar o ‘qida urakkabroq continuum quvvatli to ‘plamga misol qaraymiz.
Qaraliyotgan bu to ‘plam kantor to ‘plami yoki Kantor mukammal to‘plami nomi bilan taniqli.
3-Misol.Kantor to ‘plamini continuum quvvatli ekanni ko ‘rsating .
Yechish. Kantor to ‘plami quydagicha quriladi. bo ‘lsin. Undan
intervalni chiqarib tashlaymiz qolgan yopiq to ‘plamni bilan belgilaymiz.Keyin dan intervallarni chiqarib tashlaymiz,ularning birlashmasini orqali ,qolgan yopiq
to ‘plamni ,ya’ni

To ‘plamni bilan (1-chizma) belgilaymiz .Bu to ‘rtta kesmaning har biri teng 3 qismga bo ‘linib ,o ‘rtadagi teng bo ‘lgan interval chiqarib tashlanadi .Chiqarib tashlangan

To ‘plamni bilan ni esa bilan(1-chizma) belgilaymiz.Bu jarayoni cheksiz davom ettirib,yopiq to ‘plamlarning kamayuvchisi ketma-ketligini hosil qilamiz .Agar

deb belgilasak , yopiq to ‘plam bo ‘ladi.U kesmadan sanoqli sondagi intervallarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo ‘ladi.Hosil bo ‘lgan to ‘plam Kantor to ‘plami.
Endi K to'plamningstrnkturasini o'rganamiz. Ravshanki , [0, 1] kesmadan chiqarib tashlangan intervallarning oxirlari bo'lgan

nuqtalar К ga tegishli bo'ladi. Biroq К to‘plam faqat shu nuqtalardan iborat emas.
[0, 1] kesmadagi К ga tegishli bo'lgan miqtalarni quyidagicha xarak- terlash mumkin. Buning uchun [0, 1] kesmadagi har bir x ni uchlik sistemada yozamiz:

bu yerda sonlar 0, 1 va 2 raqamlardan birini qabul qilishi mumkin.
o‘nli kasrlar holidagidek bu yerda bam ba'zi sonlarni ikki xil
ko ‘rinishda yozish mumkin. Masalan,


1-chizma
Endi К to‘plamga tegishli soniarning uchlik sistemadagi yoyilmasi haqida fikr yur tamiz. Ravshanki intervaldagi sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida son albatta 1 ga teng bo'ladi. intervallarga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida
son albatta 1 ga teng bo ‘ladi. Xuddi shunga о‘ xshash
intervallarga tegishli sonlar uchun ularning uchlik sistemadagi yoyilmalarida son albatta1 ga teng bo‘ladi va hokazo. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun uning uchlik sistemadagi yoyilmasida qatnashuvchi Sonlarning kamida bittasi 1 ga teng. Aytilgan mulohazalardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: К to'plamga kamida bir usul bilan uchlik kasr ko'rinishida tasvirlanuvchi shunday x € [0, 1] sonlar kiradiki. ularga mos ketma-ketlikda 1 raqami biror marta ham uchra maydi. Shunday qilib, bar bir x € К uchun ketma-ketlikni mos qo'yish mumkin, bu yerda raqam 0 yoki 2 ni qabul qiladi. Bunday ketma-ketliklar to'plami kontinuum quwatli to ‘planmi tashkil qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun har bir ketma-ketlika ketma-ketlikni shunday mos qo'yamizki, agar
bo ‘lsa bo ‘ladi,agar bo ‘lsa bo ‘ladi Har bir ketma-ketlikni kesmadagi biror x sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday qilib, К to‘plamni [0, 1] ga biyektiv akslantirishni olamiz. Bu yerdan К ning kontinuum quwatli to'plam ekanligi kelib chiqadi.

ketma-ketlikdagi sonlar to'plami sanoqli bo‘lgani uchun. ular К ni to ‘la qoplamaydi.
Biz ko'rsatdikki. К kontinuum quvvatga ega, ya’ni [0, 1] kesma bilan К to'plam o‘rtasida biyektiv moslik mavjud. Bundan tashqari Kantorning mukammal to’plami bir qator ajoyib xossalarga ega. Masalan:

1. 
   Kantor to‘plamining o'lchovi nolga teng
   
2. 
   Kantor to‘plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.
   
3. 
   Kantor to‘plamining ichki nuqtalari mavjud emas.
   
4. 
   Kantor to'plami [0. 1] kesmaning hech yerida zich emas.