Kirish differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.
1.Eng sodda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.
y"=f(x), (1)
ko’rinishdagi tenglamalarga eng sodda, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi, bu yerda f(x) funksiya xX oraliqda berilgan, uzluksiz funksiya.
Bunday tenglamalarni
(2)
Ya’ni ,x ning yangi noma‟lum funksiyasini kiritish usuli bilan yechiladi. (2) tenglikdan hosila olsak,



Bundan

(3)

p noma’lum funksiyaga nisbatan sodda birinchi tartibli tenglamaga ega bo’lamiz. (3) ni integrallasak: bo’ladi bu yerda F(x) funksiya f(x) ning biror boshlang’ich funksiyasi, ixtiyoriy o’zgrmas haqiqiy son. (2) tenglikga ko’ra

yana eng sodda birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz, uni integrallasak:



bu yerda Ф(x) funksiya F(x) ning boshlangich funksiyalaridan biri, esa ikkinchi ixtiyoriy o’zgarmas son.
Shunday qilib, (1) differinsial tenglamaning umumiy yechimi (5) tenglik bilan aniqlanadi.(1) tenglamaning biror xususiy yechimini toppish uchun va o’zgarmaslarni qiymatlari aniq bo’lishi lozim, buning uchun boshlang’ich shartlar quyidagicha beriladi.
, bu yerda , tayin son, lar ham berilgan aniq sonlar.

Ba'zi ta'riflar va teoremalar. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama

munosabati bo‘lib, x mustaqil o‘zgaruvchini, noma’lum y(x) funksiyani, y(x) ning birinchi va ikkinchi hosilalarini bog‘laydi.
Biz eng yuqori hosilaga nisbatan yechilgan tenglamalarni ko'rib chiqamiz

(6) tenglama uchun, shuningdek, birinchi tartibli tenglama uchun Koshi muammo-
sini qo'yish mumkin:

,
(7)
(7) sistemada ikkinchi tartibli skalyar tenglamadan birinchi tartibli tenglamalar tizimiga o‘tsak, biz birinchi tartibli skalyar tenglama uchun Koshi muammosini yechishimiz mumkin.
(7) sistemada ikkinchi tartibli skalyar tenglamadan birinchi tartibli tenglamalar tizimiga o'tish, birinchi tartibli skalyar tenglamadan Koshi muammosini hal qilishda foydalanish mumkin.
Biroq, matematik fizikada ikkinchi tartibli tenglamalar uchun eng tipik chegaraviy muammolar - kerakli funktsiya yoki uning birinchi hosilalari (yoki ularning birikmalari) qiymatlari bir nechta turli nuqtalarda aniqlangan muammo-lardir.

,

2.1 Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechish uchun chekli farq usullarining asosiy g'oyasi Koshi muammosini echishning chekli farq usullari g'oyasiga mutlaqo o'xshashdir. Buni eng oddiy chiziqli chegaraviy masala misolida ko'rib chiqamiz

,
, (1.1)
Koshi masalasida bo'lgani kabi, x argumentining uzluksiz o'zgaruvchanlik sohasini to'riga ( j = 0,…,N) tugunlari bilan almashtiramiz. funksiya o‘rniga to‘r funksiyasini ko‘rib chiqamiz, uning aniqlanish sohasi to‘r.
To‘r funksiyasini topish uchun dastlabki chegara masalasini ayirma sxemasi bilan almashtiramiz va ikkinchi hosila ayirma operatori bilan yaqinlashadi. Natijada, biz quyidagi farq sxemasini olamiz:




Xuddi birinchi tartibli tenglamada bo'lgani kabi, differensial chegara masalasini (1.1) Ly = f simvolik ko'rinishda yozamiz, bu erda.

Belgilanish bilan tanishtirish



= va ayirma sxemasini (2.2) tenglama shaklda yozamiz.
Konvergentsiya, yaqinlashish va barqarorlik tushunchalari so'zma-so'z takrorlanadi. Konvergentsiya teoremasi chegaraviy masala uchun ham amal qiladi.Shuning uchun = ayirma sxemasining yechimining Ly = f differensial masala yechimiga yaqinligini isbotlash uchun sxemaning yaqinlashishini va barqaror ekanligini ko’rsatish kifoya.
Taxminan o'rganishda yechimdagi xatoni baholash kerak. Bizning holatda ning o'ng tomoni (N + 1) o'lchovli chiziqli fazosiga tegishli bo'lsa, normani ga kiritsak.

u holda ekanligini ko'rsatish mumkin bo’ladi.
Chiziqli ayirmali sxemasining barqarorligini isbotlash uchun farqlar sxemasining yagona yechimi mavjudligini va bahoning haqiqiyligini aniqlash kerak.

Ba'zan, ko'rib chiqilayotgan holatda, bu quyidagi misol asosida amalga oshirilishi mumkin.
2.1 Teorema. Farqining koeffitsientlari muammosi bo'lsa



(2.5)
shartlarni qanoatlantirsa

u holda bu masala ixtiyoriy , , uchun yagona yechimga ega va quyidagi taengsizlik bajariladi:

Bu yerda

Isbot.Avval (2.5) masala berilgan , , uchun yechimga ega deb faraz qilaylik va uning qiymatini (2.7) tengsizlik orqali isbotlaymiz.
Agar |y| sonlari ichida eng kattasi ( j =0...N) - | | yoki | |> bo'lsa, (2.7) tengsizlik aniq, chunki = , = . Agar
,
bu yerda 0 * =
va ixtiyoriy j uchun

ya'ni (2.7) tengsizlik ham amal qiladi.
(2.5) muammoning ixtiyoriy o'ng tomonlari uchun faqat bitta yechimga ega ekanligini isbotlash qoladi, , , . (2.5) masala , ,…, noma’lumlarning bir xil soniga nisbatan (N+1) chiziqli tenglamalar sistemasi sifatida qaralishi mumkin. Shuning uchun bu sistemaning determinanti nolga teng emasligini aniqlashimiz kerak. Va bu, agar mos keladigan bir hil tizim faqat nol yechimga ega bo'lsa, sodir bo'ladi. (2.5) masala uchun = = = 0 uchun bir jinsli sistema olinadi. Har bir yechim uchun isbotlangan bahodan (2.7) ko'rinib turibdiki, bu holda faqat = 0 arzimas yechim mavjud.
Ushbu teoremani ayirmali sxemamizga (2.2) qo'llash uchun biz ayirma tenglamasini uch nuqtali tenglama sifatida qayta yozamiz.

Keyin (2.2) sxema (2.5) ko'rinishini oladi va
,
Shubhasiz, bu holda 2.1-teorema shartlari bajariladi va
=
Teoremadan biz taxminga egamiz
,
Yoki

Bu yerda
.
Keyin, yaqinlashish teoremasi bo'yicha, (2.2) sxema ikkinchi tartib bilan bir xilda yaqinlashadi.