Kirish II bob. Tekislik va uning tenglamalari

Faraz qilaylik F sirt
x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v) (1)
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tekislikning o’zgaruvchi nuqtasi A(x,y,z) bo’lsin. U xolda yukorida isbot qilingan teoremaga asosan , , vektorlar komplanar bo’ladi. Komplanarlik shartiga asosan ulaning aralash ko’paytmasi 0 ga teng bo’ladi.
Bundan urinma tekislikning tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozamiz.


=0 (2)
Agar sirt tenglamasi z=f(x,y) ko’rinishda berilgan bo’lsa,
bu tenglama
x=u, y=v, z=f(u,v)
ko’rinishdagi paraemtrik tenglamaga teng kuchlidir. Shuning uchun urinma tekislik tenglamasi kuyidagi ko’rinishda bo’ladi:
=0 (2)
yoki
z-f(x₀,y₀)= f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀,y₀)(y-y₀) (3)
Endi F sirt
(x,y,z)=0 (_x²+_y²+_z²0)
ko’rinishdagi oshkormas tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Faraz kilaylik
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
tenglama F sirtning qandaydir parametrik tenglamasi bo’lsin. U xolda quyidagi
( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0
ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyatni u va v parametrlar bo’yicha differentsiallab quyidagini olamiz:
_xx_u+_yy_u+_zz_u=0
_xx_v+_yy_v+_zz_v=0
Oxirgi tengliklar shuni ko’rsatadiki, (_x, _y, _z) vektor r_u(x_u, y_u, z_u) r_v(x_v, y_v, z_v) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko’paytmasi 0 ga teng bo’ldi. Demak, bu vektor urinma tekislikka perpendikulyar ekan. Buni etiborga olib urinma tekislik tenglamasini osongina yoza olamiz, ya‘ni
_x(x-x₀)+_y(y-y₀)+_z(z-z₀)=0 (4)
Ta‘rif. F sirtning R nuqtasidagi normali deb, sirtning shu nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar to’g`ri chiziqqa aytiladi.
Yuqoridagi muloxazalarga asosan sirtning normali [r_u, r_v] vektor bo’ylab yo’nalgan bo’ladi. Shuning uchun normal tenglamasini osongina tuzish mumkin.
Xaqiqatan xam [ru, rv] vektor normal uchun yo’naltiruvchi vektor bo’lganligidan uning tenglamasini

kurinishida yozamiz.
Urinma tekislik, urinma tekislik tenglamalari, sirtning normali, normal tenglamasi, silliq parametrlangan sirt, vektorlarning komplanarligi.
2 – § . Tekislikning turli tenglamalari.