Kirish Mantiqiy funksiyalar va ularni yozish shakillari

MUNDARIJA

Kirish……………………………………………….....2

1 Mantiqiy funksiyalar va ularni yozish shakillari.
Mantiqiy funksiyalarni ixchamlashtirish…………………...8
2 Raqamli qurulmalarni loyhalash (misol)………………….14
3 Xulosa……………………………………………………..25
4 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………...25

KIRISH

Zamonaviy elektron hisoblash mashinalari va diskret avtomatika qurilmalarida axborotlarni qayta ishlash uchun ikkilik sanoq tizimi ishlatiladi. Ikkilik sanoq tizimsi bo‘lmish “1” va “0” larni elektr zanjirlarda kuchlanishning potentsiali bor yoki yo‘q orqali ifodalanadi. Odatda “1” yuqori qiymatdagi potentsialga mos kelishi, “0” esa uning yo‘qligini (sxema kirishi yoki chiqishidagi kichik potentsialni hisobga olmaslik mumkin). Axborot signallarini bunday ifodalanishini raqamli deb ham ataydilar. Raqamli texnika sxemasini qurishda XIX asr o‘rtalarida ingliz matematigi Dj. Bul ishlab chiqqan, shu sababli bu usulni Bul algebrasi deb yuritiladi.

Bul algebrasining asosiy qoidalarini ko‘rib chiqamiz. Bul algebrasida faqatgina ikkita tasdiqlangan fikrdan foydalaniladi: haqiqiy va xato. Haqiqiy fikrni tasdiqlashga mantiqiy 1, xatoga esa mantiqiy 0 raqami beriladi. Bunday holatda mantiqiy algebra qonunlari har qanday murakkablikdagi mantiqiy sxemani analizi va sintez talablariga to‘la javob beradi.
1 va 0 raqamlari kirish o‘zgaruvchini yoki ularning funktsiyalari mantiqiy holatini anglatadi. Agarda Y=f(X1X2...Xn) funktsiya undagi U va mustaqil o‘zgaruvchilari X1,X2,...Xn mantiqiy 1 yoki 0 ko‘rsatkichlarni qabul qilsalar mantiqiy funktsiya deb ataladi.
Har bir X o‘zgaruvchiga mantiqiy algebrada invers o‘zgaruvchi mos keladi. o‘qilishida X yo‘q deb o‘qiladi. O‘zgaruvchi va uning invertsiyasi bir vaqtning o‘zida albatta qarama-qarshi mantiqiy holatlarda ham mavjud bo‘ladi. Masalan, agarda X=0 bo‘lsa, unda =1; agarda X=1 bo‘lsa, unda =0 bo‘ladi. Bu qoida funktsiyalarga ham talluqli. Har bir Y mantiqiy funktsiyasi mantiqiy funktsiyasi inversiyasiga mos keladi.
Mantiqiy algebraning asosiy operatsiyalari quyidagilar hisoblanadi:

1. 
   Mantiqiy rad etish (inversiya) Y= ; (a)
   
2. 
   Mantiqiy qo‘shish (diz’yunktsiya) Y=X1+X2; (b)
   
3. 
   Mantiqiy ko‘paytirish (kon’yuktsiya) Y=X1∙X2; (v)
   

Mantiqiy funktsiyani haqiqiylik jadval ko‘rinishida to‘la va ko‘rgazmali taqdim etiladi, unda kirish mantiqiy o‘zgaruvchilarning har bir mumkin bo‘lgan kombinatsiyasiga funkitsiyaning ko‘rsatkichi mos keladi, haqiqiylik jadval raqamli sxemalarning algoritm ishi orqali aniqlanadi.
Mantiqiy rad etish operatsiyasi uchun haqiqiylik jadvali (a) va bu operatsiyani amalga oshiruvchi elektr sxema 1a,b-rasmlarda ko‘rsatilgan. O‘zgaruvchi X faqat ikkita ko‘rsatkichga ega bo‘lishi mumkin 0 va 1. Shunga mos ravishda X o‘zgaruvchini inversiyasidan iborat Y funktsiya 1 va 0

ko‘rsatkichlariga ega bo‘ladi. O‘zgaruvchi X ning holati kontakt ulanganda mantiqiy 1 ga va kontakt uzilganda mantiqiy 0 ga teng deb kelishib olamiz. Chiqishdagi kuchlanish kontakt uzilganida (X=0) yuqori qiymatga ega bo‘ladi, ayni shu vaqtda Y funktsiyasi mantiqiy 1 ko‘rsatkichiga ega bo‘ladi. Ulangan kontakt (X=1) R2 rezistorni shuntlaydi va natijada chiqish kuchlanishi nolga teng bo‘ladi, ya’ni Y=0.

Mantiqiy qo‘shish operatsiyasi uchun haqiiqylik jadvali (b) va bu operatsiyani amalga oshiruvchi elektr sxema 1.v,g-rasmlarda keltirilgan. Analitik operatsiya yozuvida “+” belgi mantiqiy ko‘rinishida YoKI ni ifodalaydi. (b) shunday o‘qiladi: agarda X1 yoki X2 yoki bu ikkala o‘zgaruvchilar bir vaqtda mantiqiy 1 ko‘rsatkichiga ega bo‘lsalar, Y funktsiya ham mantiqiy 1 ko‘rsatkichiga ega bo‘ladi. Bunday mantiqiy talqinning elektr sxemasi X1 va X2 parallel kontaktlar orqali ifodalanib, ular orqali kirish kuchlanishi chiqishga uzatiladi. Sxemada X1 kontakti yoki X2 kontakti yoki ikkala kontakt ulansa sxemaning chiqishida katta qiymatli kuchlanish (mantiqiy 1) xosil bo‘ladi. Agar ikkala X1X2 kontaktlar uzilsa chiqishda kuchlanish qiymati nol (mantiqiy 0) ni beradi.
Mantiqiy ko‘paytirish operatsiyasi uchun haqiqiylik jadvali (v) va bu operatsiyani amalga oshiruvchi elektr sxema 1.d,e-rasmlarda keltirilgan analitik yozilishidagi “•” belgisi mantiqiy “VA” ni anglatadi. (v) formula quyidagicha o‘qiladi: X1 va X2 ikkala o‘zgaruvchilar bir xil qiymatga ega bo‘lgan holda Y funktsiyasi mantiqiy 1 ko‘rsatkichiga ega bo‘ladi. Elektr sxemada ikkita ketma-ket ulangan kontaktlar bilan ifodalanadi. Faqat X1 va X2 kontaktlari bir vaqtda ulanganda chiqishda yuqori qiymatli kuchlanish paydo bo‘lishi (mantiqiy 1), kontaktlardan faqatgina bittasi ulanaganda esa chiqishida mantiqiy nol bo‘lishi ko‘rinib turibdi.
“0” va “1” belgilar o‘zgaruvchilar yoki ularning funktsiyalari holatini anglatadi va arifmetik sonlar hisoblanmaydi. Mantiqiy algebra sonlar emas, balki holatlar algebrasi hisoblanadi.
Raqamli elektron avtomatlarning ishlashi mantiqiy algebra asosida tuzilib, ikkita tushunchaga tayanadi: haqiqiy (mantiqiy 1) va haqiqiy emas (mantiqiy 0). Shuning uchun foydali axborot signalini ko‘rsatuvchi funktsiya har qanday vaqt momentida ikkita «1» va «0» ni qabul qiladi. Avtomatning kirishiga ta’sir etuvchi kirish buyrug‘ini o‘zgartirish, chiqishda chiqish buyrug‘ini olish uchun ular ustidan mantiqiy operatsiyalar bajariladi. Elektron qurilmalarning asosiy mantiqiy operatsiyalari mantiqan ko‘paytirish yoki kohyunktsiya hisoblanadi. Mantiqan qo‘shish yoki dizhyunktsiya va mantiqan ayirish yoki invertsiya hisoblanadi. Mantiqan ko‘paytirishni yozish uchun kirish o‘zgartgichi (XI, X2 ..., Xn) belgisi bilan birlashtirilib va (U) operatsiyani bajarish uchun ko‘paytirish (.) belgisi bilan belgilanadi. Mantiqan qo‘shish, yozishda kirish o‘zgartgichlari «YoKI» bog‘lovchisi bilan birlashtiriladi va («+») qo‘shish belgisi bilan belgilanadi: Y=X!+X2+...+Xn. Mantiqan ayi­rish (inversiya) o‘zgaruvchan miqdor ustiga chiziq qo‘yib belgilanib (X} quyidagicha o‘qiladi: «EMAS» Y=X. Mantiqiy «YO‘Q» mustaqil qiymatlardan biri bo‘lib hisoblanadi va u quyidagicha yoziladi: U= X1+X2. Raqamli elektron avtomatning kirishiga ixtiyoriy berilgan murakkab buyruq (komanda) amallarga ishlov berish uchta mantiqiy operatsiyalarni — konhyunktsiya, dizh­yunktsiya va inversiyalarni aralashtirib yozish mumkin. Shunday qilib, mantiqiy algebra operatsiyasi murakkab buyruq formulasini soddalashtirishga yordam beradi. Bu esa ixti­yoriy murakkab kirish funktsiyasini sodda mantiqiy amallar yordamida hal qilishga olib keladi. Bu vazifani raqamli avtomat qurilma tarkibiga kiruvchi mantiqiy elektron mikrosxemalar bajaradi Bul doimiylari (0 va 1) ustida mantiqiy amallar bajarish qoidalari to‘plami Bul algebrasi yoki Mantiqiy algebra deyiladi.
Faqatgina mantiqiy “0” va mantiqiy “1” dan iborat bo‘lgan signallar Ikki sathli signallar deyiladi.
Ikki sathli signallar
Ikki sathli signallar kodlanishida ularning razryadlar soni katta ahamiyatga ega bo‘ladi.
Masalan, 3 razryadli signalda signal uzunligi 3 ta mantiqiy “0” va mantiqiy “1” ketma-ketligidan iborat bo‘ladi.
n – razryadli kodli signal yordamida 2ⁿ ta turli kombinatsiyali kodlar hosil qilish mumkin.
n = 3 → 2³ = 8
n = 4 → 2⁴ = 16
Agar n = 3 bo‘lsa, quyidagi kombinatsiyalardagiday kodlar hosil bo‘ladi:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Raqamli qurilmaning kirishiga berilgan kodli axborot ma’lum tugunlardan o‘tib raqamli qurilmaning chiqishida yangi, boshqa kodli axborot ko‘rinishida hosil bo‘ladi.
Bundan aytish mumkinki, chiqish axboroti kirish axborotini argument sifatida qabul qilib ma’lum funktsiya hisobiga hosil bo‘ladi.
Shunday bo‘lsada, funktsiya va uning argumenti faqat mantiqiy “0” va mantiqiy “1” qiymatlarni qabul qiladi. Bunday funktsiyalar mantiqiy algebra funktsiyasi deyiladi.
Bitta mantiqiy amal bajaradigan funktsiyalar oddiy mantiqiy funktsiyalar deyiladi.
Agar argumentlar soni n ta bo‘lsa, undan turli kombinatsiyali 2ⁿ ta argumentli 2²ⁿ ta funktsiyani ifodalashi mumkin.
Masalan, 2 argumentdan hosil qilish mumkin bo‘lgan funktsiyalarni 1 –jadvalda ko‘rib o‘tamiz:
Jadval 1

X1	0	0	1	1
X2	0	1	0	1
f0	0	0	0	0	0
f1	0	0	0	1	X1 * X2
f2	0	0	1	0	X1 * X2

f3	0	0	1	1	X1
f4	0	1	0	0	X2*X1
f5	0	1	0	1	X2
f6	0	1	1	0	X1 X2
f7	0	1	1	1	X1 V X2
f8	1	1	1	0	X1 X2

Ushbu jadvaldagi funktsiyalar ichida f₃, f₅, f₁₀, f₁₂ lar bir o‘zgaruvchili funktsiyalar hisoblanadi. f₀ va f₁₅ lardan boshqa hamma funktsiyalar esa ikki o‘zgaruvchili funktsiyalar hisoblanadi.

f 9	1	0	0	1	X1 X2
f 10	1	0	1	0	X2
f 11	1	0	1	1	X2 X1
f 12	1	1	0	0	X1
f 13	1	1	0	1	X1 X2
f 14	1	1	1	0	X 1 X2
f 15	1	1	1	1	1

1.Mantiqiy funksiyalar va ularni yozish shakllari. Mantiqiy funksiyalarni ixchamlashtirish.

Raqamli qurilmalarni loyixalashning mantiqiy o‘zgaruvchilar asosiy nazariyasi bilan ishlovi mantiqiy algebra asoslanadi. Faqat ikki qymat qabul qiluvchi mantiqy o’zgaruvchilar uchun 3 hil asosiy operatsiyalar mavjuddir. Mantiqiy ko‘paytirish konyunktsiya "VA" (AND) operatsiyasi * yoki L ko‘rinishda belgilanadi.

Mantiqiy qo‘shish yoki dizyuktsiya "YoKI" (OK) operatsiyasi + yoki V kurinishda belgilanadi.
Inversiya yoki inkor etish, qiymatni o‘zgartirish "EMAS" (NOT) operatsiyasi mantiqiy o‘zgartiruvchining ustiga chiziqcha quyilish bilan belgilanadi. Mantiqiy inversiya ~ belgisi bilan belgilanadi. Ekvivalentlik operatsiyasi "=" belgi bilan ko‘rsatiladi. quyidagi munosabatlar asoslidir.

(1)	0 + 0 = 0		1 * 1 = 1	(1')
(2)	1 + 1 = 1		0 * 0 = 0	(2')
(3)	1 + 0 = 0 + 1 = 1		0 * 1 = 1 * 0 = 0	(3')
(4)	~1 = 0		~0 = 1	(4')

(1, 2) va (1',2') dan quyidagi kelib chiqadi:

x + x = x i x * x = x (5)
(1, 3) va (2',3') dan quyidagi kelib chiqadi:
x + 0 = x i 0 * x = 0. (6)
(2, 3) va (1',3') dan quyidagi kelib chiqadi:
1 + x = 1 i x * 1 = x. (7)
(3) va (3') dan quyidagi kelib chiqadi:
x +~x = 1 i~x * x = 0. (8)
(4) va (4') dan quyidagi kelib chiqadi:
~(~x) = x. (9)
Va nihoyat
(1,1'), (2,2'), (3,3') va (4,4') dan
quyidagi kelib chiqadi:
~( x0+x1 ) = ~x0 * ~x1 i ~( x0 * x1) = ~x0 + ~x1 . (10)
De Morgan teoremasining ikki taraflamaligi (mantiqiy yig‘indining inversiyasi o‘zgaruvchilarning inversiyalarining kupaytmasiga teng va uning aksidir) deb ataladi. N o‘zgaruvchilar uchun ikki taraflamachilik kupincha quyidagicha yoziladi:
~(x1 + .. + xn) = ~x1 * . .* ~xn va
~(x1 * .. * xn) = ~x1 + .. + ~xn (11)
I va ILI funktsiyalari uchun oddiy algebraning qonunlari: o‘rin almashtirish, guruhlanuvchi va taqsimlanishlik qonunlari o‘rinli bo‘lib, ularni isboti oddiy o‘rniga qo‘yish yuli bilan amalga oshiriladi.
x1 or x0=x0 orx1, o‘rin almashtirish,
x2 or x1 or x0 = (x2or x1) or x0 guruhlanuvchilik va
x2*(x1+x0)=(x2*x1)+(x2+x0) va x2+(x1*x0)=(x2+x1)*(x2*x0) taksimlanishlik bulib,
bu yerda or uringa VA va YoKI operatsiyalar qo‘yilishi mumkin.
n - mantiqiy o‘zgaruvchilar (argumentlar) uchun ularning 2n kombinatsiyasi yoki ikkilik tuplami mavjuddir. To‘plamlarning har biri uchun funktsiyaning 0 yoki 1 qiymatlari aniqlanishi mumkin. Agar funktsiya qiymatlarining hech bo‘lmasa bir tuplamda bir-birlari bilan farqlansa, bunday funktsiyalar-turlidir.
n uzgaruvchilik mantiqiy funktsiyalar N=2n tengdir. n=2 uchun N=16. n=3 uchun esa N=256 va undan keyin funktsiyalar soni keskin o‘sib ketadi. Amaliy jihatdan 2-uzgaruvchilik 16 funktsiya axamiyatiga ega, chunki har bir murrakab ifodani oddiy ifodalarning kompozitsiyasi deb karash mumkindir. 1 jadvalda n=2ga teng bo‘lgan mantiqiy funktsiyalar keltirilgan bo‘lib, i-nomer o‘zgaruvchi kirishlarning x1 va x0 aniqlaydi.

Mantiqiy funktsiyalarning sxemada shartli belgilanish:

Mantiqiy funktsiyalarni tashkil etishda ishtirok etuvchi mantiqiy element kirishlar soni Kob birlashtirish koeffitsienti deb ataladi. (tarmoklanish koeffitsienti bilan almashtirmang). Yuqorida keltirilgan sxemalarda, faqat invertorda tashqari birlashtirish koeffitsienti ikkiga teng. Sanoatda sxemalar Kob=2,3,4,8 teng qurinishda ishlab chikariladi. Sxemalarning boshqa sonli kirishlar bilan xosil kilish uchun asosiy elementlarni birlashtirish mumkin. Masalan, agarda “I” elemenligini belgilash kirishligini hosil qilish uchun, quyidagi gruhlash qonuni asosida x0*x1*x2*x3*x4=(x0*x1)*(x2*x3*x4)=(x0*x1)*x2* x3*x4 ikkita ikki kirishli va bitta 3 kirishli “I” sxema birinchi varianti uchun, yoki bitta ikki kirishli va bitta turt kirishli ikkinchi variant uchun foydalanish mumkin (1 rasm). Sonsiz kirishli “I” elementi olinib, ortiqcha kirishlarga "1",

yoki (5) yoki (7) ifodalarga asosan uzgartirish mumkin.

Mantiqiy funktsiyalarni tasvirlash usullari.

Mantiqiy kurilmalarning loyixalash asosida uning mantikiy funktsiyasini (mf) aniklash va unga mos sxemani kurish maksadi yotadi. MF turli formalarda tasvirlanishi mumkin: 1) suz, 2) grafik, 3) jadval, 4) algebraik, 5) alyuritmik til bilan, masala VHDL va 6) sxemalar bilan. Misol uchun ikki x1 va x0 uzgaruvchini funktsiyaning suz bilan tasvirlanishi kurib chikamiz, agar u=1, uzgaruvchilar bir biriga teng bulmasa u=0, agar x1=x0 bulsa. Bunday funktsiyani TYeNGSIZLIK funktsiyasi deb ataladi. Tasvirlash navbatini jadval kurinishiga utamiz (2 jadval). MF ning xamma uzgaruvchilariga boglik bulgan xolatlarni tasvirlash uning xolatlar jadval deb ataladi. Umuman aytganda jadval kurinishdan algebarik usulga utish (12) formula asosida olib berish, mantikiy algebraning asoslaridan biridir.

i	0	1	2	3
X0	0	1	0	1
X1	0	0	1	1
	f0	f1	f2	f3
Y	0	1	1	0

MF (SOND) mantiqiy funktsiyaning barkamol dizyunktiv normal formasi (BDNF) deb atalib, mi-minteri yoki i-ikkilik to‘plamning hamma o‘zgaruvchilarning mantiqiy ko‘paytmasi bo‘lib, o‘zgaruvchi tug‘ri ko‘rinishda ifodalanadi, agar o‘zgaruvchi to‘plamda 1 teng bo‘lsa va inversiya ko‘rinishida ifodalanadi, agar o‘zgaruvchi tuplamda 0 ga teng bulsa, 12-ifodaning isboti, ajratish (yoyish) teoremasiga asoslanib, unga asosan n uzgaruvchiga teng mantiqiy funktsiya xi uzgaruvchi asosida quyidagi ko‘rinishda ajratib yozish mumkin:

f(x(p-1), . . . xi, . . ., x0)= ~xi*f(x(n-1), . . . ,0, . . . x0)+xi*f(x(n-1), . . . f . . .x0)
Bu ifoda xi=0 bo‘lganda ~ 0*f (x (n-1), . . . 0, . . . x0)+0*f (x (n-1), . . .1, . . .x0) = f (x (n-1), . . . 0, . . .x0).
Xi=0 holda u teng buladi: ~ 1*f (x (n-1), . . .1, . . x0)+1*f (x(n-1), . . .1, . . .x0)=f (x (n-1), . . . 1, . . .x0)ga. Boshqacha qilib aytganda ajralish teoremasi ixtiyoriy xi uchun o‘rinlidir. Ajralish teoremasi n marta qo‘llash natijasida mantiqiy funktsiya hamma o‘zgaruvchilari bo‘yicha ajralib chiqish mumkindir. Misol tariqasida ikki o‘zgaruvchiga bog‘lik bo‘lgan F=f(x1,x0) funktsiyani ko‘rib chiqamiz. Bu funktsiyaning x asosida ajralish quyidagi ifodani beradi:
F= ~ x1*x1*f(0,x0)+x1*f (f,x0)
Keltirilgan ifodani x0 uchun davom ettirib quyidagi ifoda xosil buladi:
F =~x1*(~x0*(f(0,0) + x0*(f(0,1)) + x1*(~x0*(f(1,0) + x0*(f(1,1)) =
~x1*~x0*f(0,0) + ~x1*x0*f(0,1) + x1*~x0*f(1,0) + x1*x0*f(1,1). (12.1)
Ifoda ikki o‘zgaruvchiga boglik bo‘lgan hamma mantiqiy funktsiyasi, fakat uchta asosiy mantiqiy operatsiyalar bilan ta’svirlash imkonini beradi. F7- "ILI" va /1-"I" funktsiyalarning yoyish jarayonini ko‘rib chiqamiz, buning uchun 1 jadvalning mos qatorlariga murojaat etamiz. "I" funktsiya x1 va x0 larning ikkilik to‘plamlarida (00,01,10,11) qiymatlarida 0,0,0,1 qiymatlarni oladi. (12.1) ifodani yuqoridagi qiymatlari uchun yozib, quyidagilarni hosil qilamiz:
F1(x1,x2)= ~ x1*~x0*0+~x1*x0*0+x1*~x0*0+x1*x0+1=x1*x0.
Bu esa aniqlangan bilan mosdir. Shunday qilib, F7 "ILI" uchun algebarik ifodani aniqlaymiz, ular uchun ham ko‘rilgan yo‘nalishlarda 0,1,1,1 qiymatlar oladi. Bunda (12.1) ifodaga asosan,
F7 (x1,x2)=~x1*x0*0+~x1+~x0*1+~x1*x0*1+x1*x0*1
oxirgi ifodalarda x1 qavsdan tashqariga, F7=~x1*x0*1+x1*(~x0+1+x0*1) (6) aksiomaga asosan qavsdagi ifoda 1ga tengdir va F7=~x1*x0*1+x1 taqsimlanish qonunini qo‘llab, (~x1+x1)*(x0+x1)=x1+x0 aniqlaymiz.
2 - jadvalga kaytib,
Y=0*~x1*~x0+1*~x1*x0+1*x1+~x0+0x1*x0= ~x1+x0+x1*~x0= x1+x0=F6 (tengsizlik funktsiyasi) topamiz.
(12) formula bilan ihtiyoriy kurinishlik murrakkab funktsiyalarni uch asosiy mantiqiy funktsiyalar asosida keltirish mumkindir.

(12) ifoda yordamida aniklangan (SDNF) BONF kayta ishlanib, shunday ko‘rinishga (xar doim xam emas) keltirish mumkinligi, unda o‘zgaruvchilar va operatsiya soni birlamchi ifodadan kam xolatda bo‘lishi mumkindir. Bunday qayta ishlanish ixchamlash deyiladi.
Misol. Uchta ikkilik Xi dagiliklar bor. Shunday mantiqiy funktsiyalash ishini bajarishni, chiqish funktsiyasi 1 teng bo‘lsin-ki, agarda ikki va undan ortiq datchiklar 1 teng bulsa. Bunday funktsiya majoritar funktsiya deyiladi. Uning xolatlar jadvali
quyidagi ko‘rinishga ega.

(12) formula yordamida Ymajor = ~ x2*x1*x0*x2* ~x1*x0+x2*x1* ~X0+x2*x1*x0 (3,5,6,7-jadval qatorlari). Aniklangan ifodaga 6 rasmdagi sxema to‘gri
keladi



Keltirilgan sxema 4 ta uch kirishli "VA" elementi va to‘rt kirishli "YoKI" elementlardan iborat. Mantiqiy funktsiyalarning ixcham formasi algebrani qayta ishlash, qarama-qarshi yoki katta o‘zgaruvchilar amalga oshirish mumkin.