Kirish Reja; Cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqoslash. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar

Cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqoslash . Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar.


Biz ko'pincha chegaralarni a = 0 da baholaymiz. Ba'zi odamlar maxsus terminologiyadan foydalanib, bunday chegaralarni almashtirish haqida hikoya qilishni yaxshi ko'radilar. Cheksiz kichik deganda ular nolga teng chegaraga ega bo'lgan har qanday funktsiyani anglatadi . Odatda cheksiz kichiklar sin( x ), ln (1 + x ) yoki kuchlar x ^B bo'ladi. Ikki cheksiz kichik f , h ekvivalent deyiladi, agar f ∼  h 0 da bo'lsa. Bu ekvivalent cheksiz sonlar 0 dagi chegaradagi kasrning maxraji sonini hosil qilganda erkin almashinishi mumkin.
Yuqoridagi ekvivalent cheksiz sonlar jadvaliga nazar tashlasak, barcha holatlarda o'ngdagi atama, aslida, chapdagi funksiyaning Teylor kengayishining birinchi hadi ekanligini ko'rish mumkin. Bu tasodif emas. Umuman olganda, a dagi chegarani baholashda biz funktsiyalarni markaz a bilan kengaytirish orqali almashtirishimiz mumkin . Agar biz to'liq kengayishdan (kuch seriyasidan) foydalansak, quvvat seriyasi asl funktsiyani a ning ba'zi qo'shnilarida birlashtiradi deb faraz qilsak, buni xohlaganimizdek bajarishimiz mumkin .
Biroq, seriya bilan ishlash qiyin bo'lishi mumkin. Ko'pincha ma'lum darajadagi Teylorning nolga teng bo'lmagan polinomidan foydalanish yaxshiroqdir. Keyin xato qilmaslik uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak. Agar biz o'zgartirmoqchi bo'lgan funksiya biz tekshirayotgan kasrdagi pay yoki maxraj bo'lsa, biz buni aniq qila olamiz. Agar biz boshqa joylarda almashtirmoqchi bo'lsak, biz muhim ma'lumotlarni yo'qotmaslik uchun darajani tanlashimiz kerak. Intuitiv ravishda, biz o'rganilayotgan ifodaning bir qismini uning Teylor kengayishi bilan ma'lum darajada almashtirish jarayonida butunlay bekor qilinmagan holatlarda almashtirishimiz mumkin. Bu to'g'ri matematik bayonot emas, chegara muammolari qanchalik xilma-xil bo'lishi mumkinligini hisobga olsak, to'liq va aniq tavsif berish qiyin. O'zgartirishdan foydalanishga qaror qilganingizda.

Ekvivalent cheksiz kichiklar odatda o'rgatilmaganligi sababli, biz ularni matematika o'qituvchisida rasmiy echimlarda ishlatmaymiz. Biz sinusni birinchi darajali polinom bilan almashtirganimizda, u bekor qilinganligini kuzatishdan boshlaymiz. Shunday qilib, bu juda qisqa edi. Biz keyingi mavjud uzunlikni, ya'ni uchinchi darajali polinomni sinab ko'ramiz, chunki uning bir qismi hisoblagichda omon qolishi kerak.
Funksiyani nuqtaning biror atrofida, masalan, (3;5) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy ni olamiz va ni deb quyidagicha ozgartiramiz: yani ni hisobga olsak, ushbu tengsizlikni hosil qilamiz:
bundan korinib turibdiki, deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlan- tiradigan barcha uchun ushbu tengsizlik bajariladi: Bundan 2 soni funksiyani nuqtadagi limiti bolishi kelib chiqadi.

.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti 6-tarif. Agar funksiya x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bolib, istalgan son uchun shunday mavjud bolsaki, tengsizlikni qanoat- lantiradigan barcha x lar uchun tyengsizlik bajarilsa, A son funksiyaning dagi limiti deb ataladi. Agar A son funksiyaning dagi limiti bolsa, bu quyidagicha yoziladi:

Bu tarif geometrik nuqtai nazardan quyida-gini anglatadi: agar istalgan son uchun shunday mavjud bolsaki, uchun funksiyaning qiymatlari inter- valga tushadi (2-shakl). Misol. ekanini isbotlang. funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy ni olamiz va ni ozgartiramiz:

Agar ni olsak, u holda barcha lar uchun ushbu tengsizlik bajariladi: Bundan 1 son funksiyaning dagi limiti bolishi kelib chiqadi.

Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi. 7-tarif. intervalda aniqlangan funksiya uchun shunday son mavjud bolsaki, barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya intervalda chegaralangan deb ataladi. Agar bunday M son mavjud bolmasa, u holda funksiya bu intervalda chegaralanmagan deb ataladi.

A-chekli son bolsa, u holda funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir. 4.Bir tomonlama limitlar. 8-tarif. Agar funksiyaning a nuqtadagi yoki dagi limiti tarifida x ozgaruvchi a dan kichik (yani ) bolganicha qolsa, u holda funksiyaning limiti funksiyaning nuqtadagi (yoki dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi. Demak, har bir son uchun shunday mavjud bolsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun

x ozgaruvchi a dan katta (yani ) bolganicha qolsa, u holda funksiyaning limiti nuqtadagi(yoki dagi) ong tomonlama limiti deb ataladi. funksiyaning nuqtadagi ong tomonlama limiti bunday belgilanadi: funksiyaning nuqtadagi chap va ong tomonlama limitlari bir tomonlar limitlar deb ataladi. Bunga teskari davo

ham orinli. Demak, funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular ozaro teng, yani bolganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega boladi. 5. Cheksiz katta funksiyalar. 10-tarif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va istalgan son uchun shunday son mavjud bolsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun

tengsizlik bajarilsa, xa da funksiya cheksizlikka intiladi deb ataladi va bu quyidagicha yoziladi: 3-chizma.

Agar funksiya barcha x lar uchun aniqlangan bolib, istalgan son uchun shunday topilsaki, tengsiz- likni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya x da cheksizlikka intiladi deyiladi. Agar x da f(x) funksiya cheksizlikka intilsa, bu quyidagicha yoziladi: 12-tarif. Agar bolsa, u holda funksiya

Bu tarifdan korindiki, agar funksiya cheksiz katta funksiya bolsa, u holda istalgan uchun shunday topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun tengsizlik bajariladi. Bundan cheksiz katta funksiya chegaralanmagan funksiya ekani kelib chiqadi. 6. Cheksiz kichik funksiyalar va ularning cheksiz katta funksiyalar bilan bogliqligi 13-tarif. Agar ( yoki ) da (yoki da) cheksiz katta funksiya deb ataladi.
bolsa, funksiya da (yoki da) cheksiz kichik funksiya deyiladi. 2-teorema. 1) Agar funksiya da ( da) cheksiz kichik funksiya bolsa, u holda funksiya da ( da) cheksiz katta funksiyadir. 2) Agar funksiya da ( da) cheksiz katta funksiya bolsa, u holda funksiya da ( da) cheksiz kichik funksiyadir.

Cheksiz kichik funksiyalarning asosiy xossalari. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yigindisi. 1-teorema. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yigindisi cheksiz kichik funksiyadir. 2-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning chegaralangan funksiyaga kopaytmasi cheksiz kichik funksiyadir. 3-teorema. Cheksiz kichik funksiyalarning kopaytmasi cheksiz kichik funksiyadir. 4-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning noldan farqli limitiga ega bolgan funksiya cheksiz kichik funksiyadir.

Agar funksiya da limitga ega bolsa, u holda uni bu limitga teng ozgarmas son va cheksiz kichik funksiya yigindisi korinishda ifodalash mumkin. 2) Agar funksiya ozgarmas son bilan va da cheksiz kichik funksiyaning yigindisi korinishda ifodalash mumkin bolsa, u holda ozgarmas qoshiluvchi bu funksiyaning dagi limiti boladi. 7.Limitlar haqida asosiy teoremalar. 1-teorema. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yigindisining limiti qoshiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yigindisiga teng.

Chekli sondagi funksiyalar algebraik kopaytmasining limiti funksiyalar limitlarining kopaytmasiga teng. 3-teorema. Ikkita funksiya bolinmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bolsa, bu funksiyalar limitlarining bolinmasiga teng, yani agar bolsa, boladi. 4-teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun va (A-chekli son) bolsa, u holda boladi. 5-teorema. Agar va funksiyaning mos qiymatlari uchun tengsizlik bajarilsa, u holda boladi.