Классификация случайных событий. Классическое определе­

1. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал , равна ,
Где , .
□ Учитывая, что вероятность есть приращение функции распределения на отрезке и учитывая формулу получим:
. ■
2. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна , где .
□ . Учитывая свойство 1, а также свойство нечетности функции Лапласа, получим
. ■
«правило трех сигм»:
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , т.е. N(a; ), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале ( ).
Нарушение «правила трех сигм», т.е. отклонение нормально распределенной случайной величины Х больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала:
.

10. 
    Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. При­меры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таб­лице распределения.
    

Очень часто результат испытания характеризуется не одной СВ, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = ( ). Приведем примеры многомерных случайных величин.

1. 
   Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин - оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.
   
2. 
   Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: - температура; - влажность; - давление; - скорость ветра и т.п.
   

Любая СВ (i = 1,2,...,n) есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω ( ). Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω:
т.е. каждому элементарному событию ω ставится в соответствие несколько действительных чисел , которые приняли случайные величины в результате испытания. В этом случае вектор х = ( ) называется реализацией случайного вектора Х = ( ).
Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными (см. выше пример 1), так и непрерывными (пример 2).
Н аиболее полным описанием многомерной СВ является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной СВ такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X,Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения (табл. 5.1), в каждой клетке (i,j) которой располагаются вероятности произведения событий .
Так как события (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m), состоящие в том, что СВ Х примет значение , а СВ Y - значение , несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.:
Распределение одномерной случайной величины Х можно получить, вычислив вероятность события (i = 1,2,...,n) как сумму вероятностей несовместных событий:
.
Аналогично .
Т.о., чтобы по таблице распределения (табл. 5.1) найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, положить , то полученное распределение случайной СВ Х называется условным распределением Х при условии . Вероятности этого распределения будут условными вероятностями события , найденными в предположении, что событие произошло. Из определения условной вероятности:
.
Аналогично условное распределение СВ У при условии задается с помощью условных вероятностей: .

10. 
    Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случай­ных величин.
    

Пусть имеется двумерная СВ (Х,Y), распределение которой известно, т.е. известна табл. 5.1 или совместная плотность вероятности . Тогда можно найти математические ожидания М(Х) = а_х, М(Y) = а_у и дисперсии и одномерных составляющих Х и Y. Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (Х,Y), т.к. не выражают степени зависимости ее составляющих Х и Y эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.
Определение. Ковариацией (или корреляционным моментом) К_ху случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.
, Или ,
Где , .
Из определения следует, что . Кроме того, .
т.е. ковариация СВ с самой собой есть ее дисперсия.
Для дискретных случайных величин: .
Для непрерывных случайных величин: .
Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Об этом, в частности, свидетельствуют свойства ковариации случайных величин.

1. 
   Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.
   
2. 
   Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е. , или .
   
3. 
   Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е. .
   

Ковариация, как уже отмечено, характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она - величина размерная, ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Этих недостатков лишен коэффициент корреляции.
Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
.
Из определения следует, что . Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина.
Свойства коэффициента корреляции:

1. 
   Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е. .
   
2. 
   Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. .
   

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Т.о., из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость.

3. 
   Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.
   

10. 
    Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
    

Определение. Случайная величина (Х,Y) называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид:

Где
Из определения следует, что двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: .
и аналогично .;
и аналогично .;
.
Т.о., параметры и выражают математические ожидания случайных величин Х и Y, параметры и - их дисперсии, а - коэффициент корреляции между случайными величинами Х и Y.
Нетрудно убедиться в том, что каждый из условных законов распределения случайных величин Х и Y является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми по формулам:
, ,
, .
Теорема. Если две нормально распределенные случайные величины Х и Y некоррелированы, то они независимы.
Т.о., для нормально распределенных случайных величин термины «некоррелированность» и «независимость» равносильны.

10. 
    Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). При­мер.
    

Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:

☺ Доказательство проведем для дискретной СВ Х. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений будут не более числа А, а другая часть - будут больше А, т.е.
(рис. 6.1) .

Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,
где - вероятности того, что СВ Х примет значения соответственно .
Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых (напомним, что все ), получим: .
Заменяя в неравенстве значения меньшим числом А, получим более сильное неравенство: или .
Cумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой сумму вероятностей событий , т.е. вероятность события Х>А. Поэтому .☻
Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:
.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.