Классификация случайных событий. Классическое определе­

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .
☺ Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность. ☻

2. 
   Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
   

☺ Пусть и - точки числовой оси, причем > . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .
Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения
: или откуда .
Так как вероятность , то , т.е. - неубывающая функция. ☻

3. 
   На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.
   

.
☺ как вероятность невозможного события .
как вероятность достоверного события . ☻

4. 
   Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна при ращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:
   

.
☺ Формула следует непосредственно из формулы . ☻

10. 
    Непрерывная случайная величина (НОВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дис­персия нсв.
    

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома).

Н а рис. 3.7 показана Функция распределения непрерывной случайной величины Х, дифференцируемая во всех точках, кроме трех точек излома.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.
☺ Покажем, что для любого значения случайной величины Х вероятность . Представим в виде .
Применяя свойство функции распределения случайной величины Х и учитывая непрерывность F(x), получим:
. ☻
Из приведенной выше теоремы следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события, так как событие, состоящее в том, что случайная величина Х приняла конкретное значение , является возможным.
Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.
.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: . При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

10. 
    Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
    

Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью на определенном участке оси абсцисс. Плотность вероятности , как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения. График плотности вероятности называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.

1. 
   Плотность вероятности - неотрицательная функция, т.е. .
   

☺ как производная монотонно неубывающей функции F(х). ☻

2. 
   Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b, т.е. .
   

☺ Согласно свойству 4 функции распределения . Так как F(x) - первообразная для плотности вероятности (т.к. , то по формуле Ньютона-Лейбница приращение первообразной на отрезке [а,b] – определенный интеграл . ☻
Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).

3. 
   Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
   

.
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).

4. 
   Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице: .
   

Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

10. 
    Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распреде­ления Пуассона.